Момент инерции абсолютно твердого тела: решение и формулы

Определение и основные формулы момента инерции абсолютно твердого тела Момент инерции — это физическая величина, являющаяся мерой инертности твердого тела при вращательном движении вокруг неподвижной оси. Она аналогична массе при поступательном движении. 1. Момент инерции системы материальных точек Если тело можно представить как совокупность отдельных материальных точек, то момент инерции \( I \) равен сумме произведений масс этих точек на квадраты их расстояний до оси вращения: \[ I = \sum_{i=1}^{n} m_i r_i^2 \] где: \( m_i \) — масса \( i \)-й точки; \( r_i \) — расстояние от этой точки до оси вращения. 2. Момент инерции сплошного тела Для абсолютно твердого тела с непрерывным распределением массы суммирование заменяется интегрированием по всему объему тела: \[ I = \int r^2 dm \] Если тело однородное (плотность \( \rho \) постоянна), то формулу можно записать через объем: \[ I = \rho \int r^2 dV \] 3. Теорема Гюйгенса-Штейнера Если известен момент инерции тела \( I_c \) относительно оси, проходящей через его центр масс, то момент инерции \( I \) относительно любой другой параллельной оси находится по формуле: \[ I = I_c + ma^2 \] где: \( m \) — полная масса тела; \( a \) — расстояние между осями. 4. Примеры моментов инерции некоторых тел (относительно оси симметрии): Тонкий стержень (ось через центр): \[ I = \frac{1}{12} ml^2 \] Сплошной цилиндр или диск: \[ I = \frac{1}{2} mR^2 \] Шар: \[ I = \frac{2}{5} mR^2 \] Тонкостенный обруч (кольцо): \[ I = mR^2 \] Единица измерения момента инерции в системе СИ: килограмм-метр в квадрате (кг·м²).