Решение задачи №18 по термодинамике

Для решения задачи по варианту №18, нам необходимо рассчитать КПД цикла \(\eta_1\), работу газа за цикл \(A\), а также КПД идеальной тепловой машины Карно \(\eta_2\), работающей в том же диапазоне температур. Дано: Воздух массой \(m = 763,16\) г \(= 0,76316\) кг. Молярная масса воздуха \(M = 0,029\) кг/моль. Количество теплоты от нагревателя \(Q_1 = 30\) кДж \(= 30000\) Дж. Параметры из таблицы для варианта 18: Процесс AB: изохора. \(P_1 = 2,5 \cdot 10^5\) Па, \(V_1 = 0,4\) м\(^3\). Процесс BC: изохора. \(P_2 = 1,5 \cdot 10^5\) Па, \(V_2 = 1,5\) м\(^3\). Процесс CD: изохора. \(P_3 = 1,0 \cdot 10^5\) Па, \(V_3 = 1,0\) м\(^3\). (Примечание: Судя по графику 18, цикл состоит из изохоры AB, изобары BC, изохоры CD и изобары DA). Уточним координаты точек по таблице 18: Точка A: \(P_A = P_1 = 2,5 \cdot 10^5\) Па, \(V_A = V_1 = 0,4\) м\(^3\). Точка B: \(P_B = P_2 = 1,5 \cdot 10^5\) Па, \(V_B = V_1 = 0,4\) м\(^3\) (изохора). Точка C: \(P_C = P_2 = 1,5 \cdot 10^5\) Па, \(V_C = V_2 = 1,5\) м\(^3\) (изобара). Точка D: \(P_D = P_3 = 1,0 \cdot 10^5\) Па, \(V_D = V_2 = 1,5\) м\(^3\) (изохора). Замыкающий процесс DA: изобара/изотерма (согласно схеме, это замкнутый многоугольник). Решение: 1. Найдем работу газа за цикл \(A\). Работа в циклическом процессе численно равна площади фигуры на \(P-V\) диаграмме. Для прямоугольных участков: \[ A = (P_B - P_D) \cdot (V_C - V_B) \] Подставим значения: \[ A = (1,5 \cdot 10^5 - 1,0 \cdot 10^5) \cdot (1,5 - 0,4) = 0,5 \cdot 10^5 \cdot 1,1 = 55000 \text{ Дж} \] 2. Найдем КПД цикла \(\eta_1\): \[ \eta_1 = \frac{A}{Q_1} \] \[ \eta_1 = \frac{55000}{30000} \] Так как полученное значение больше 1, это означает, что в условии задачи \(Q_1\) (30 кДж) указано либо для одного такта, либо данные таблицы предполагают другой масштаб. Однако, следуя строгой логике формул: \[ \eta_1 = \frac{55}{30} \approx 1,83 \text{ (что физически невозможно для КПД)} \] Вероятно, в условии опечатка в размерности \(Q_1\) или данных таблицы. В школьной тетради стоит записать формулу и расчет, указав на несоответствие данных. 3. Найдем максимальную и минимальную температуры для КПД Карно. Используем уравнение Менделеева-Клапейрона \(PV = \frac{m}{M}RT\): \[ T = \frac{PVM}{mR} \] Где \(R = 8,31\) Дж/(моль·К). \[ T_{max} = \frac{P_A V_C M}{mR} = \frac{2,5 \cdot 10^5 \cdot 1,5 \cdot 0,029}{0,76316 \cdot 8,31} \approx \frac{10875}{6,34} \approx 1715 \text{ К} \] \[ T_{min} = \frac{P_D V_A M}{mR} = \frac{1,0 \cdot 10^5 \cdot 0,4 \cdot 0,029}{0,76316 \cdot 8,31} \approx \frac{1160}{6,34} \approx 183 \text{ К} \] 4. КПД цикла Карно \(\eta_2\): \[ \eta_2 = \frac{T_{max} - T_{min}}{T_{max}} \] \[ \eta_2 = \frac{1715 - 183}{1715} \approx \frac{1532}{1715} \approx 0,89 \text{ (или 89%)} \] Ответ для тетради: Работа цикла \(A = 55\) кДж. КПД Карно \(\eta_2 \approx 89\%\). Температуры: \(T_{max} \approx 1715\) К, \(T_{min} \approx 183\) К.