Решение задачи: Уравнение плоскости A(-7; 1; -4) перпендикулярно BC

Задача 01. Вариант 19. Дано: Точка \( A(-7; 1; -4) \) Точка \( B(8; 11; -3) \) Точка \( C(9; 9; -1) \) Написать уравнение плоскости, проходящей через точку \( A \) перпендикулярно вектору \( \vec{BC} \). Решение: 1. Найдем координаты вектора \( \vec{BC} \). Для этого из координат конца (точки \( C \)) вычтем координаты начала (точки \( B \)): \[ \vec{BC} = (x_C - x_B; y_C - y_B; z_C - z_B) \] \[ \vec{BC} = (9 - 8; 9 - 11; -1 - (-3)) \] \[ \vec{BC} = (1; -2; 2) \] 2. Так как плоскость перпендикулярна вектору \( \vec{BC} \), то этот вектор является нормальным вектором плоскости \( \vec{n} \). Следовательно, координаты нормального вектора: \[ A_{пл} = 1, \quad B_{пл} = -2, \quad C_{пл} = 2 \] 3. Уравнение плоскости, проходящей через точку \( A(x_0; y_0; z_0) \) с нормальным вектором \( \vec{n}(A_{пл}; B_{пл}; C_{пл}) \), имеет вид: \[ A_{пл}(x - x_0) + B_{пл}(y - y_0) + C_{пл}(z - z_0) = 0 \] 4. Подставим координаты точки \( A(-7; 1; -4) \) и координаты вектора \( \vec{BC} \) в уравнение: \[ 1 \cdot (x - (-7)) + (-2) \cdot (y - 1) + 2 \cdot (z - (-4)) = 0 \] \[ 1 \cdot (x + 7) - 2 \cdot (y - 1) + 2 \cdot (z + 4) = 0 \] 5. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые: \[ x + 7 - 2y + 2 + 2z + 8 = 0 \] \[ x - 2y + 2z + 17 = 0 \] Ответ: \( x - 2y + 2z + 17 = 0 \)