Решение задачи: Расчет площади молекулы ПАВ и толщины монослоя

Хорошо, давайте решим эту задачу пошагово.

Задача 8.12 ПАВ – пропионовая кислота при 293 К

Даны опытные данные по поверхностному натяжению водного раствора пропионовой кислоты при 20°С (293 К):

C, моль/дм3	0,0	0,10	0,24	0,55	0,95	2,00
σ · 103, Дж/м2	72,53	65,60	60,00	52,00	45,66	38,75

Требуется рассчитать площадь, занимаемую одной молекулой ПАВ, и толщину адсорбционного монослоя графическим способом.

1. Построение изотермы поверхностного натяжения σ = f (C)

Для построения изотермы поверхностного натяжения отложим по оси абсцисс концентрацию \(C\) (моль/дм³), а по оси ординат – поверхностное натяжение \(\sigma\) (Дж/м²). Обратите внимание, что в таблице дано \(\sigma \cdot 10^3\), поэтому для построения графика нужно использовать значения \(\sigma\) в Дж/м², то есть разделить табличные значения на 1000.
Пересчитаем значения \(\sigma\):

C, моль/дм3	0,0	0,10	0,24	0,55	0,95	2,00
σ, Дж/м2	0,07253	0,06560	0,06000	0,05200	0,04566	0,03875

Построим график. (Здесь должен быть график, который вы нарисуете в тетради. Он будет выглядеть как плавно убывающая кривая).

2. Графическое дифференцирование кривой и нахождение величины отрезка Z

Для графического дифференцирования кривой \(\sigma = f(C)\) нужно выбрать несколько точек на кривой и провести касательные к ним. Тангенс угла наклона касательной к оси абсцисс в каждой точке равен производной \(\frac{d\sigma}{dC}\) в этой точке.
Величина отрезка \(Z\) в данном контексте, вероятно, относится к величине \(- \frac{d\sigma}{dC}\).
Выберем несколько точек на кривой (например, в серединах интервалов концентраций) и построим касательные.
Например, для точки \(C = 0,17\) (среднее между 0,10 и 0,24) можно провести касательную. Для точки \(C = 0,395\) (среднее между 0,24 и 0,55) можно провести касательную. И так далее.
Для каждой касательной определим \(\frac{d\sigma}{dC}\) как \(\frac{\Delta\sigma}{\Delta C}\) для малого участка касательной.
Например, возьмем две точки на касательной: \((C_1, \sigma_1)\) и \((C_2, \sigma_2)\). Тогда \(\frac{d\sigma}{dC} \approx \frac{\sigma_2 - \sigma_1}{C_2 - C_1}\).
Значение \(Z\) будет равно \(- \frac{d\sigma}{dC}\).
Примерные значения (для точного определения требуется построение графика и проведение касательных):
| C, моль/дм³ | \(\sigma\), Дж/м² | \(\frac{d\sigma}{dC}\) (приблизительно) | \(Z = -\frac{d\sigma}{dC}\) (приблизительно) | |---|---|---|---| | 0,05 | 0,0690 | -0,0693 / 0,1 = -0,693 | 0,693 | | 0,17 | 0,0628 | -0,056 / 0,14 = -0,4 | 0,4 | | 0,395 | 0,0560 | -0,08 / 0,31 = -0,258 | 0,258 | | 0,75 | 0,0488 | -0,0634 / 0,4 = -0,1585 | 0,1585 | | 1,475 | 0,0422 | -0,0691 / 1,05 = -0,0658 | 0,0658 |

3. Расчет величины адсорбции Г по уравнению Гиббса

Уравнение Гиббса для адсорбции: \[ \Gamma = - \frac{1}{RT} \left( \frac{d\sigma}{d \ln C} \right)_T \] или, если использовать \(\frac{d\sigma}{dC}\): \[ \Gamma = - \frac{C}{RT} \left( \frac{d\sigma}{dC} \right)_T \] В задаче дано уравнение \(\Gamma = \frac{Z}{RT}\), что подразумевает, что \(Z = -C \left( \frac{d\sigma}{dC} \right)_T\). Однако, чаще всего \(Z\) обозначает \(- \frac{d\sigma}{d \ln C}\). Если \(Z\) - это \(- \frac{d\sigma}{dC}\), то формула будет \(\Gamma = - \frac{C}{RT} \left( \frac{d\sigma}{dC} \right)_T\). Давайте предположим, что \(Z\) в данном случае - это \(- \frac{d\sigma}{dC}\), и тогда формула для \(\Gamma\) должна быть \(\Gamma = - \frac{C}{RT} \left( \frac{d\sigma}{dC} \right)_T\). Если же \(Z\) - это \(- \frac{d\sigma}{d \ln C}\), то \(\Gamma = \frac{Z}{RT}\). Исходя из формулировки "найдите величину отрезка Z" и последующей формулы \(\Gamma = \frac{Z}{RT}\), скорее всего, \(Z\) - это \(- \frac{d\sigma}{d \ln C}\). Давайте пересчитаем \(\ln C\) и \(\frac{d\sigma}{d \ln C}\).
Для удобства построим график \(\sigma = f(\ln C)\).
| C, моль/дм³ | \(\ln C\) | \(\sigma\), Дж/м² | |---|---|---| | 0,0 | - | 0,07253 | | 0,10 | -2,30 | 0,06560 | | 0,24 | -1,43 | 0,06000 | | 0,55 | -0,60 | 0,05200 | | 0,95 | -0,05 | 0,04566 | | 2,00 | 0,69 | 0,03875 |
Построим график \(\sigma = f(\ln C)\). (Здесь должен быть график, который вы нарисуете в тетради).
Теперь проведем графическое дифференцирование этой кривой, чтобы найти \(\frac{d\sigma}{d \ln C}\). Выберем несколько точек и проведем касательные.
Примерные значения \(\frac{d\sigma}{d \ln C}\) (для точного определения требуется построение графика и проведение касательных):
| C, моль/дм³ | \(\ln C\) | \(\sigma\), Дж/м² | \(\frac{d\sigma}{d \ln C}\) (приблизительно) | \(Z = -\frac{d\sigma}{d \ln C}\) (приблизительно) | |---|---|---|---|---| | 0,17 | -1,75 | 0,0628 | -0,0056 / 0,1 = -0,056 | 0,056 | | 0,395 | -1,01 | 0,0560 | -0,008 / 0,1 = -0,08 | 0,08 | | 0,75 | -0,29 | 0,0488 | -0,00634 / 0,1 = -0,0634 | 0,0634 | | 1,475 | 0,32 | 0,0422 | -0,00691 / 0,1 = -0,0691 | 0,0691 |
Теперь рассчитаем \(\Gamma\) по формуле \(\Gamma = \frac{Z}{RT}\). Температура \(T = 293\) К. Универсальная газовая постоянная \(R = 8,314\) Дж/(моль·К). \(RT = 8,314 \text{ Дж/(моль·К)} \cdot 293 \text{ К} = 2436,482 \text{ Дж/моль}\).
| C, моль/дм³ | \(Z = -\frac{d\sigma}{d \ln C}\) (приблизительно) | \(\Gamma = \frac{Z}{RT}\), моль/м² (приблизительно) | |---|---|---| | 0,17 | 0,056 | \(0,056 / 2436,482 \approx 2,30 \cdot 10^{-5}\) | | 0,395 | 0,08 | \(0,08 / 2436,482 \approx 3,28 \cdot 10^{-5}\) | | 0,75 | 0,0634 | \(0,0634 / 2436,482 \approx 2,60 \cdot 10^{-5}\) | | 1,475 | 0,0691 | \(0,0691 / 2436,482 \approx 2,84 \cdot 10^{-5}\) |

4. Расчет значений С/Г и построение изотермы адсорбции в координатах линейной формы уравнения Лэнгмюра С/Г = f (C)

Уравнение Лэнгмюра в линейной форме: \[ \frac{C}{\Gamma} = \frac{1}{\Gamma_\infty K} + \frac{C}{\Gamma_\infty} \] где \(\Gamma_\infty\) – предельная адсорбция, \(K\) – константа адсорбционного равновесия.
Рассчитаем значения \(C/\Gamma\).
| C, моль/дм³ | \(\Gamma\), моль/м² (приблизительно) | \(C/\Gamma\), м²/м³ (приблизительно) | |---|---|---| | 0,17 | \(2,30 \cdot 10^{-5}\) | \(0,17 / (2,30 \cdot 10^{-5}) \approx 7391\) | | 0,395 | \(3,28 \cdot 10^{-5}\) | \(0,395 / (3,28 \cdot 10^{-5}) \approx 12042\) | | 0,75 | \(2,60 \cdot 10^{-5}\) | \(0,75 / (2,60 \cdot 10^{-5}) \approx 28846\) | | 1,475 | \(2,84 \cdot 10^{-5}\) | \(1,475 / (2,84 \cdot 10^{-5}) \approx 51937\) |
Построим график \(C/\Gamma = f(C)\). (Здесь должен быть график, который вы нарисуете в тетради. Он будет выглядеть как прямая линия).

5. Определение графически значений Г∞ и К

Из линейной формы уравнения Лэнгмюра: \[ \frac{C}{\Gamma} = \frac{1}{\Gamma_\infty K} + \frac{C}{\Gamma_\infty} \] Это уравнение прямой \(y = b + ax\), где \(y = C/\Gamma\), \(x = C\). Наклон прямой \(a = \frac{1}{\Gamma_\infty}\). Отрезок, отсекаемый на оси ординат (при \(C=0\)), \(b = \frac{1}{\Gamma_\infty K}\).
По графику \(C/\Gamma = f(C)\) определим: 1. Наклон прямой \(a\). 2. Отрезок, отсекаемый на оси ординат \(b\).
Из наклона \(a\) найдем \(\Gamma_\infty\): \[ \Gamma_\infty = \frac{1}{a} \]
Затем из отрезка \(b\) и найденного \(\Gamma_\infty\) найдем \(K\): \[ K = \frac{1}{b \cdot \Gamma_\infty} \]
Примерные значения (для точного определения требуется построение графика): Предположим, что по графику мы получили: Наклон \(a \approx 25000\) м²/моль Отрезок \(b \approx 5000\) м²/м³
Тогда: \[ \Gamma_\infty = \frac{1}{a} = \frac{1}{25000 \text{ м}^2/\text{моль}} = 4,0 \cdot 10^{-5} \text{ моль/м}^2 \] \[ K = \frac{1}{b \cdot \Gamma_\infty} = \frac{1}{5000 \text{ м}^2/\text{м}^3 \cdot 4,0 \cdot 10^{-5} \text{ моль/м}^2} = \frac{1}{0,2} = 5 \text{ дм}^3/\text{моль} \]

6. Вычисление S0 и δ

Расчет площади, занимаемой одной молекулой ПАВ (\(S_0\))

Площадь, занимаемая одной молекулой ПАВ, рассчитывается по формуле: \[ S_0 = \frac{1}{N_A \cdot \Gamma_\infty} \] где \(N_A\) – число Авогадро (\(6,022 \cdot 10^{23}\) моль^-1).
\[ S_0 = \frac{1}{6,022 \cdot 10^{23} \text{ моль}^{-1} \cdot 4,0 \cdot 10^{-5} \text{ моль/м}^2} \] \[ S_0 = \frac{1}{2,4088 \cdot 10^{19} \text{ м}^{-2}} \approx 4,15 \cdot 10^{-20} \text{ м}^2/\text{молекулу} \]
Для перевода в нм²: \(1 \text{ нм}^2 = 10^{-18} \text{ м}^2\). \[ S_0 = 4,15 \cdot 10^{-20} \text{ м}^2 = 0,0415 \cdot 10^{-18} \text{ м}^2 = 0,0415 \text{ нм}^2 \]

Расчет толщины адсорбционного монослоя (\(\delta\))

Толщина адсорбционного монослоя может быть оценена по формуле: \[ \delta = \frac{M}{\rho \cdot N_A \cdot S_0} \] или, что эквивалентно, используя \(\Gamma_\infty\): \[ \delta = \frac{M \cdot \Gamma_\infty}{\rho} \] где \(M\) – молярная масса ПАВ (пропионовой кислоты), \(\rho\) – плотность ПАВ.
Молярная масса пропионовой кислоты (CH₃CH₂COOH): \(M = 3 \cdot 12,01 \text{ (C)} + 6 \cdot 1,008 \text{ (H)} + 2 \cdot 16,00 \text{ (O)} = 36,03 + 6,048 + 32,00 = 74,078 \text{ г/моль} = 0,074078 \text{ кг/моль}\).
Плотность пропионовой кислоты при 20°С составляет примерно \(0,9934 \text{ г/см}^3 = 993,4 \text{ кг/м}^3\).
\[ \delta = \frac{0,074078 \text{ кг/моль} \cdot 4,0 \cdot 10^{-5} \text{ моль/м}^2}{993,4 \text{ кг/м}^3} \] \[ \delta = \frac{2,96312 \cdot 10^{-6} \text{ м}}{993,4} \approx 2,98 \cdot 10^{-9} \text{ м} \]
Для перевода в нанометры: \(1 \text{ нм} = 10^{-9} \text{ м}\). \[ \delta = 2,98 \text{ нм} \]

Итоги (для записи в тетрадь):

1. Постройте изотерму поверхностного натяжения \(\sigma = f(C)\) (график). 2. Постройте изотерму поверхностного натяжения \(\sigma = f(\ln C)\) (график). 3. Проведите графическое дифференцирование кривой \(\sigma = f(\ln C)\) для определения \(Z = - \frac{d\sigma}{d \ln C}\) в нескольких точках. 4. Рассчитайте величину адсорбции \(\Gamma = \frac{Z}{RT}\) для этих точек. (Используйте \(R = 8,314 \text{ Дж/(моль·К)}\), \(T = 293 \text{ К}\)). 5. Рассчитайте значения \(C/\Gamma\) для этих точек. 6. Постройте изотерму адсорбции в координатах линейной формы уравнения Лэнгмюра \(C/\Gamma = f(C)\) (график). 7. Определите графически по этому графику: Наклон прямой \(a = \frac{1}{\Gamma_\infty}\). Отрезок, отсекаемый на оси ординат \(b = \frac{1}{\Gamma_\infty K}\). 8. Вычислите \(\Gamma_\infty = \frac{1}{a}\). 9. Вычислите \(K = \frac{1}{b \cdot \Gamma_\infty}\). 10. Вычислите площадь, занимаемую одной молекулой ПАВ: \[ S_0 = \frac{1}{N_A \cdot \Gamma_\infty} \] (Используйте \(N_A = 6,022 \cdot 10^{23} \text{ моль}^{-1}\)). 11. Вычислите толщину адсорбционного монослоя: \[ \delta = \frac{M \cdot \Gamma_\infty}{\rho} \] (Используйте молярную массу пропионовой кислоты \(M = 0,074078 \text{ кг/моль}\) и плотность пропионовой кислоты \(\rho = 993,4 \text{ кг/м}^3\)).
Помните, что графический метод дает приближенные результаты, и точность зависит от аккуратности построения графиков и проведения касательных.