Решение: Во сколько раз площадь треугольника ABC больше площади AKPC?

Дано: Треугольник ABC — равносторонний. Точки M и Q лежат на продолжении AC: CM = AQ = AC. Точка N на BC: BN : NC = 2 : 1. MN пересекает AB в точке K. QK пересекает BC в точке P. Найти: Отношение площади треугольника ABC к площади четырехугольника AKPC. Решение: 1. Введем систему координат или воспользуемся теоремой Менелая. Пусть длина стороны треугольника ABC равна \( a \). Тогда \( AC = AB = BC = a \). По условию \( CM = a \) и \( AQ = a \). 2. Рассмотрим треугольник ABC и прямую MKN, пересекающую его стороны. Применим теорему Менелая для треугольника ABC и прямой MKN: \[ \frac{AK}{KB} \cdot \frac{BN}{NC} \cdot \frac{CM}{MA} = 1 \] Из условия задачи: \( BN : NC = 2 : 1 \), значит \( \frac{BN}{NC} = 2 \). Точка M лежит на продолжении AC, поэтому \( MA = AC + CM = a + a = 2a \). Тогда \( \frac{CM}{MA} = \frac{a}{2a} = \frac{1}{2} \). Подставим значения в формулу: \[ \frac{AK}{KB} \cdot 2 \cdot \frac{1}{2} = 1 \implies \frac{AK}{KB} = 1 \] Следовательно, K — середина стороны AB, то есть \( AK = KB = \frac{a}{2} \). 3. Теперь рассмотрим треугольник ABC и прямую QKP. Применим теорему Менелая для треугольника ABC и прямой QKP: \[ \frac{AK}{KB} \cdot \frac{BP}{PC} \cdot \frac{CQ}{QA} = 1 \] Мы уже нашли, что \( \frac{AK}{KB} = 1 \). Точка Q лежит на продолжении AC за точку A, поэтому \( CQ = CA + AQ = a + a = 2a \). Тогда \( \frac{CQ}{QA} = \frac{2a}{a} = 2 \). Подставим значения: \[ 1 \cdot \frac{BP}{PC} \cdot 2 = 1 \implies \frac{BP}{PC} = \frac{1}{2} \] Это значит, что \( BP = \frac{1}{3}a \), а \( PC = \frac{2}{3}a \). 4. Найдем площадь четырехугольника AKPC. Она равна разности площадей треугольника ABC и треугольника KBP: \[ S_{AKPC} = S_{ABC} - S_{KBP} \] Площадь треугольника KBP можно выразить через площадь ABC: \[ S_{KBP} = \frac{1}{2} \cdot KB \cdot BP \cdot \sin(60^\circ) \] \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin(60^\circ) \] Отношение площадей: \[ \frac{S_{KBP}}{S_{ABC}} = \frac{KB}{AB} \cdot \frac{BP}{BC} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{6} \] Следовательно, \( S_{KBP} = \frac{1}{6} S_{ABC} \). 5. Вычислим площадь AKPC: \[ S_{AKPC} = S_{ABC} - \frac{1}{6} S_{ABC} = \frac{5}{6} S_{ABC} \] 6. Найдем искомое отношение: \[ \frac{S_{ABC}}{S_{AKPC}} = \frac{S_{ABC}}{\frac{5}{6} S_{ABC}} = \frac{6}{5} = 1,2 \] Ответ: Площадь треугольника ABC больше площади четырехугольника AKPC в 1,2 раза.