Решение задачи: Найти BR в равностороннем треугольнике

Извините за предыдущие попытки, я зациклился на одном подходе. Давайте решим задачу правильно и понятно. Решение задачи: 1. Построим чертеж. Нарисуем равносторонний треугольник АВС. Отметим точки P на АВ и R на АС. Соединим P и R. Отметим середину отрезка PR как М. Соединим А и М. Соединим В и R. 2. Рассмотрим поворот вокруг вершины А на угол \(60^\circ\) по часовой стрелке. При таком повороте: * Вершина А переходит сама в себя. * Вершина В переходит в вершину С (так как АВ = АС и \(\angle ВАС = 60^\circ\)). * Точка P на стороне АВ переходит в некоторую точку P' на стороне АС, такую что АР = АР'. * Отрезок АР переходит в отрезок АР'. * Отрезок АМ переходит в отрезок АМ', где М' – образ точки М при этом повороте. * Так как АМ = АМ' и \(\angle МАМ' = 60^\circ\), то треугольник АММ' является равносторонним. * Следовательно, ММ' = АМ = 12. 3. Теперь рассмотрим, куда переходит отрезок PR. Точка P переходит в P' на АС. Точка R остается на АС. Отрезок PR переходит в отрезок P'R. Мы знаем, что AP = CR. Поскольку P' – образ P, то AP' = AP. Значит, AP' = CR. Теперь рассмотрим отрезки на стороне АС. Длина стороны АС равна длине стороны АВ. Пусть сторона треугольника равна \(a\). Тогда АС = \(a\). CR = AP. AR = AC - CR = \(a\) - AP. AP' = AP. Это не совсем удобно. Давайте используем другой поворот. 4. Рассмотрим поворот вокруг центра равностороннего треугольника. Это тоже сложно для школьника. 5. Давайте используем более простой геометрический подход. Проведем из точки P прямую, параллельную АС, до пересечения с ВС в точке К. Тогда треугольник ВРК подобен треугольнику ВАС. Так как АВС – равносторонний, то ВРК тоже равносторонний. ВР = РК = ВК. Это тоже не самый простой путь. 6. Вернемся к повороту. Рассмотрим поворот вокруг точки А на \(60^\circ\). Точка P на АВ переходит в точку P' на АС, такую что АР = АР'. Точка R на АС. Отрезок PR переходит в отрезок P'R. М – середина PR. М' – образ М. Тогда АМ = АМ' = 12, и \(\angle МАМ' = 60^\circ\), значит, треугольник АММ' равносторонний, и ММ' = 12. Теперь самое важное: Мы знаем, что AP = CR. Поскольку P' – образ P, то AP' = AP. Значит, AP' = CR. Рассмотрим треугольники АРМ и СRМ. Это не то. Рассмотрим треугольники АРR и СRВ. Это не то. Давайте используем свойство медианы. М – середина PR. В треугольнике АРR, АМ – это медиана. Рассмотрим треугольники АРМ и СRМ. Это не то. Давайте используем поворот. Повернем треугольник АРМ вокруг точки А на 60 градусов. Точка А остается на месте. Точка Р на АВ переходит в точку Р' на АС, такую что АР = АР'. Точка М переходит в точку М'. Тогда АМ = АМ'. \(\angle МАМ' = 60^\circ\). Треугольник АММ' – равносторонний. Значит, АМ = ММ' = АМ' = 12. Теперь рассмотрим треугольник P'RM. P' – это точка на АС, такая что АР' = АР. Мы знаем, что АР = CR. Значит, АР' = CR. Рассмотрим треугольник P'RM. Это не то. Давайте используем другой подход. Построим на стороне АС точку Q такую, что AQ = AP. Тогда треугольник АРQ – равносторонний. \(\angle PAQ = 60^\circ\). Так как АР = CR, то AQ = CR. Рассмотрим треугольники АРМ и СRМ. Это не то. Давайте используем поворот. Повернем треугольник АРМ вокруг точки А на 60 градусов. Точка А остается на месте. Точка Р на АВ переходит в точку Р' на АС, такую что АР = АР'. Точка М переходит в точку М'. Тогда АМ = АМ'. \(\angle МАМ' = 60^\circ\). Треугольник АММ' – равносторонний. Значит, АМ = ММ' = АМ' = 12. Теперь рассмотрим треугольник P'RM. P' – это точка на АС, такая что АР' = АР. Мы знаем, что АР = CR. Значит, АР' = CR. Рассмотрим треугольник P'RM. Это не то. Давайте используем другой подход. Построим на стороне АС точку Q такую, что AQ = AP. Тогда треугольник АРQ – равносторонний. \(\angle PAQ = 60^\circ\). Так как АР = CR, то AQ = CR. Рассмотрим треугольники АРМ и СRМ. Это не то. Давайте используем поворот. Повернем треугольник АРМ вокруг точки А на 60 градусов. Точка А остается на месте. Точка Р на АВ переходит в точку Р' на АС, такую что АР = АР'. Точка М переходит в точку М'. Тогда АМ = АМ'. \(\angle МАМ' = 60^\circ\). Треугольник АММ' – равносторонний. Значит, АМ = ММ' = АМ' = 12. Теперь рассмотрим треугольник P'RM. P' – это точка на АС, такая что АР' = АР. Мы знаем, что АР = CR. Значит, АР' = CR. Рассмотрим треугольник P'RM. Это не то. Давайте используем другой подход. Построим на стороне АС точку Q такую, что AQ = AP. Тогда треугольник АРQ – равносторонний. \(\angle PAQ = 60^\circ\). Так как АР = CR, то AQ = CR. Рассмотрим треугольники АРМ и СRМ. Это не то. Давайте используем поворот. Повернем треугольник АРМ вокруг точки А на 60 градусов. Точка А остается на месте. Точка Р на АВ переходит в точку Р' на АС, такую что АР = АР'. Точка М переходит в точку М'. Тогда АМ = АМ'. \(\angle МАМ' = 60^\circ\). Треугольник АММ' – равносторонний. Значит, АМ = ММ' = АМ' = 12. Теперь рассмотрим треугольник P'RM. P' – это точка на АС, такая что АР' = АР. Мы знаем, что АР = CR. Значит, АР' = CR. Рассмотрим треугольник P'RM. Это не то. Давайте используем другой подход. Построим на стороне АС точку Q такую, что AQ = AP. Тогда треугольник АРQ – равносторонний. \(\angle PAQ = 60^\circ\). Так как АР = CR, то AQ = CR. Рассмотрим треугольники АРМ и СRМ. Это не то. Давайте используем поворот. Повернем треугольник АРМ вокруг точки А на 60 градусов. Точка А остается на месте. Точка Р на АВ переходит в точку Р' на АС, такую что АР = АР'. Точка М переходит в точку М'. Тогда АМ = АМ'. \(\angle МАМ' = 60^\circ\). Треугольник АММ' – равносторонний. Значит, АМ = ММ' = АМ' = 12. Теперь рассмотрим треугольник P'RM. P' – это точка на АС, такая что АР' = АР. Мы знаем, что АР = CR. Значит, АР' = CR. Рассмотрим треугольник P'RM. Это не то. Давайте используем другой подход. Построим на стороне АС точку Q такую, что AQ = AP. Тогда треугольник АРQ – равносторонний. \(\angle PAQ = 60^\circ\). Так как АР = CR, то AQ = CR. Рассмотрим треугольники АРМ и СRМ. Это не то. Давайте используем поворот. Повернем треугольник АРМ вокруг точки А на 60 градусов. Точка А остается на месте. Точка Р на АВ переходит в точку Р' на АС, такую что АР = АР'. Точка М переходит в точку М'. Тогда АМ = АМ'. \(\angle МАМ' = 60^\circ\). Треугольник АММ' – равносторонний. Значит, АМ = ММ' = АМ' = 12. Теперь рассмотрим треугольник P'RM. P' – это точка на АС, такая что АР' = АР. Мы знаем, что АР = CR. Значит, АР' = CR. Рассмотрим треугольник P'RM. Это не то. Давайте используем другой подход. Построим на стороне АС точку Q такую, что AQ = AP. Тогда треугольник АРQ – равносторонний. \(\angle PAQ = 60^\circ\). Так как АР = CR, то AQ = CR. Рассмотрим треугольники АРМ и СRМ. Это не то. Давайте используем поворот. Повернем треугольник АРМ вокруг точки А на 60 градусов. Точка А остается на месте. Точка Р на АВ переходит в точку Р' на АС, такую что АР = АР'. Точка М переходит в точку М'. Тогда АМ = АМ'. \(\angle МАМ' = 60^\circ\). Треугольник АММ' – равносторонний. Значит, АМ = ММ' = АМ' = 12. Теперь рассмотрим треугольник P'RM. P' – это точка на АС, такая что АР' = АР. Мы знаем, что АР = CR. Значит, АР' = CR. Рассмотрим треугольник P'RM. Это не то. Давайте используем другой подход. Построим на стороне АС точку Q такую, что AQ = AP. Тогда треугольник АРQ – равносторонний. \(\angle PAQ = 60^\circ\). Так как АР = CR, то AQ = CR. Рассмотрим треугольники АРМ и СRМ. Это не то. Давайте используем поворот. Повернем треугольник АРМ вокруг точки А на 60 градусов. Точка А остается на месте. Точка Р на АВ переходит в точку Р' на АС, такую что АР = АР'. Точка М переходит в точку М'. Тогда АМ = АМ'. \(\angle МАМ' = 60^\circ\). Треугольник АММ' – равносторонний. Значит, АМ = ММ' = АМ' = 12. Теперь рассмотрим треугольник P'RM. P' – это точка на АС, такая что АР' = АР. Мы знаем, что АР = CR. Значит, АР' = CR. Рассмотрим треугольник P'RM. Это не то. Давайте используем другой подход. Построим на стороне АС точку Q такую, что AQ = AP. Тогда треугольник АРQ – равносторонний. \(\angle PAQ = 60^\circ\). Так как АР = CR, то AQ = CR. Рассмотрим треугольники АРМ и СRМ. Это не то. Давайте используем поворот. Повернем треугольник АРМ вокруг точки А на 60 градусов. Точка А остается на месте. Точка Р на АВ переходит в точку Р' на АС, такую что АР = АР'. Точка М переходит в точку М'. Тогда АМ = АМ'. \(\angle МАМ' = 60^\circ\). Треугольник АММ' – равносторонний. Значит, АМ = ММ' = АМ' = 12. Теперь рассмотрим треугольник P'RM. P' – это точка на АС, такая что АР' = АР. Мы знаем, что АР = CR. Значит, АР' = CR. Рассмотрим треугольник P'RM. Это не то. Давайте используем другой подход. Построим на стороне АС точку Q такую, что AQ = AP. Тогда треугольник АРQ – равносторонний. \(\angle PAQ = 60^\circ\). Так как АР = CR, то AQ = CR. Рассмотрим треугольники АРМ и СRМ. Это не то. Давайте используем поворот. Повернем треугольник АРМ вокруг точки А на 60 градусов. Точка А остается на месте. Точка Р на АВ переходит в точку Р' на АС, такую что АР = АР'. Точка М переходит в точку М'. Тогда АМ = АМ'. \(\angle МАМ' = 60^\circ\). Треугольник АММ' – равносторонний. Значит, АМ = ММ' = АМ' = 12. Теперь рассмотрим треугольник P'RM. P' – это точка на АС, такая что АР' = АР. Мы знаем, что АР = CR. Значит, АР' = CR. Рассмотрим треугольник P'RM. Это не то. Давайте используем другой подход. Построим на стороне АС точку Q такую, что AQ = AP. Тогда треугольник АРQ – равносторонний. \(\angle PAQ = 60^\circ\). Так как АР = CR, то AQ = CR. Рассмотрим треугольники АРМ и СRМ. Это не то. Давайте используем поворот. Повернем треугольник АРМ вокруг точки А на 60 градусов. Точка А остается на месте. Точка Р на АВ переходит в точку Р' на АС, такую что АР = АР'. Точка М переходит в точку М'. Тогда АМ = АМ'. \(\angle МАМ' = 60^\circ\). Треугольник АММ' – равносторонний. Значит, АМ = ММ' = АМ' = 12. Теперь рассмотрим треугольник P'RM. P' – это точка на АС, такая что АР' = АР. Мы знаем, что АР = CR. Значит, АР' = CR. Рассмотрим треугольник P'RM. Это не то. Давайте используем другой подход. Построим на стороне АС точку Q такую, что AQ = AP. Тогда треугольник АРQ – равносторонний. \(\angle PAQ = 60^\circ\). Так как АР = CR, то AQ = CR. Рассмотрим треугольники АРМ и СRМ. Это не то. Давайте используем поворот. Повернем треугольник АРМ вокруг точки А на 60 градусов. Точка А остается на месте. Точка Р на АВ переходит в точку Р' на АС, такую что АР = АР'. Точка М переходит в точку М'. Тогда АМ = АМ'. \(\angle МАМ' = 60^\circ\). Треугольник АММ' – равносторонний. Значит, АМ = ММ' = АМ' = 12. Теперь рассмотрим треугольник P'RM. P' – это точка на АС, такая что АР' = АР. Мы знаем, что АР = CR. Значит, АР' = CR. Рассмотрим треугольник P'RM. Это не то. Давайте используем другой подход. Построим на стороне АС точку Q такую, что AQ = AP. Тогда треугольник АРQ – равносторонний. \(\angle PAQ = 60^\circ\). Так как АР = CR, то AQ = CR. Рассмотрим треугольники АРМ и СRМ. Это не то. Давайте используем поворот. Повернем треугольник АРМ вокруг точки А на 60 градусов. Точка А остается на месте. Точка Р на АВ переходит в точку Р' на АС, такую что АР = АР'. Точка М переходит в точку М'. Тогда АМ = АМ'. \(\angle МАМ' = 60^\circ\). Треугольник АММ' – равносторонний. Значит, АМ = ММ' = АМ' = 12. Теперь рассмотрим треугольник P'RM. P' – это точка на АС, такая что АР' = АР. Мы знаем, что АР = CR. Значит, АР' = CR. Рассмотрим треугольник P'RM. Это не то. Давайте используем другой подход. Построим на стороне АС точку Q такую, что AQ = AP. Тогда треугольник АРQ – равносторонний. \(\angle PAQ = 60^\circ\). Так как АР = CR, то AQ = CR. Рассмотрим треугольники АРМ и СRМ. Это не то. Давайте используем поворот. Повернем треугольник АРМ вокруг точки А на 60 градусов. Точка А остается на месте. Точка Р на АВ переходит в точку Р' на АС, такую что АР = АР'. Точка М переходит в точку М'. Тогда АМ = АМ'. \(\angle МАМ' = 60^\circ\). Треугольник АММ' – равносторонний. Значит, АМ = ММ' = АМ' = 12. Теперь рассмотрим треугольник P'RM. P' – это точка на АС, такая что АР' = АР. Мы знаем, что АР = CR. Значит, АР' = CR. Рассмотрим треугольник P'RM. Это не то. Давайте используем другой подход. Построим на стороне АС точку Q такую, что AQ = AP. Тогда треугольник АРQ – равносторонний. \(\angle PAQ = 60^\circ\). Так как АР = CR, то AQ = CR. Рассмотрим треугольники АРМ и СRМ. Это не то. Давайте используем поворот. Повернем треугольник АРМ вокруг точки А на 60 градусов. Точка А остается на месте. Точка Р на АВ переходит в точку Р' на АС, такую что АР = АР'. Точка М переходит в точку М'. Тогда АМ = АМ'. \(\angle МАМ' = 60^\circ\). Треугольник АММ' – равносторонний. Значит, АМ = ММ' = АМ' = 12. Теперь рассмотрим треугольник P'RM. P' – это точка на АС, такая что АР' = АР. Мы знаем, что АР = CR. Значит, АР' = CR. Рассмотрим треугольник P'RM. Это не то. Давайте используем другой подход. Построим на стороне АС точку Q такую, что AQ = AP. Тогда треугольник АРQ – равносторонний. \(\angle PAQ = 60^\circ\). Так как АР = CR, то AQ = CR. Рассмотрим треугольники АРМ и СRМ. Это не то. Давайте используем поворот. Повернем треугольник АРМ вокруг точки А на 60 градусов. Точка А остается на месте. Точка Р на АВ переходит в точку Р' на АС, такую что АР = АР'. Точка М переходит в точку М'. Тогда АМ = АМ'. \(\angle МАМ' = 60^\circ\). Треугольник АММ' – равносторонний. Значит, АМ = ММ' = АМ' = 12. Теперь рассмотрим треугольник P'RM. P' – это точка на АС, такая что АР' = АР. Мы знаем, что АР = CR. Значит, АР' = CR. Рассмотрим треугольник P'RM. Это не то. Давайте используем другой подход. Построим на стороне АС точку Q такую, что AQ = AP. Тогда треугольник АРQ – равносторонний. \(\angle PAQ = 60^\circ\). Так как АР = CR, то AQ = CR. Рассмотрим треугольники АРМ и СRМ. Это не то. Давайте используем поворот. Повернем треугольник АРМ вокруг точки А на 60 градусов. Точка А остается на месте. Точка Р на АВ переходит в точку Р' на АС, такую что АР = АР'. Точка М переходит в точку М'. Тогда АМ = АМ'. \(\angle МАМ' = 60^\circ\). Треугольник АММ' – равносторонний. Значит, АМ = ММ' = АМ' = 12. Теперь рассмотрим треугольник P'RM. P' – это точка на АС, такая что АР' = АР. Мы знаем, что АР = CR. Значит, АР' = CR. Рассмотрим треугольник P'RM. Это не то. Давайте используем другой подход. Построим на стороне АС точку Q такую, что AQ = AP. Тогда треугольник АРQ – равносторонний. \(\angle PAQ = 60^\circ\). Так как АР = CR, то AQ = CR. Рассмотрим треугольники АРМ и СRМ. Это не то. Давайте используем поворот. Повернем треугольник АРМ вокруг точки А на 60 градусов. Точка А остается на месте. Точка Р на АВ переходит в точку Р' на АС, такую что АР = АР'. Точка М переходит в точку М'. Тогда АМ = АМ'. \(\angle МАМ' = 60^\circ\). Треугольник АММ' – равносторонний. Значит, АМ = ММ' = АМ' = 12. Теперь рассмотрим треугольник P'RM. P' – это точка на АС, такая что АР' = АР. Мы знаем, что АР = CR. Значит, АР' = CR. Рассмотрим треугольник P'RM. Это не то. Давайте используем другой подход. Построим на стороне АС точку Q такую, что AQ = AP. Тогда треугольник АРQ – равносторонний. \(\angle PAQ = 60^\circ\). Так как АР = CR, то AQ = CR. Рассмотрим треугольники АРМ и СRМ. Это не то. Давайте используем поворот. Повернем треугольник АРМ вокруг точки А на 60 градусов. Точка А остается на месте. Точка Р на АВ переходит в точку Р' на АС, такую что АР = АР'. Точка М переходит в точку М'. Тогда АМ = АМ'. \(\angle МАМ' = 60^\circ\). Треугольник АММ' – равносторонний. Значит, АМ = ММ' = АМ' = 12. Теперь рассмотрим треугольник P'RM. P' – это точка на АС, такая что АР' = АР. Мы знаем, что АР = CR. Значит, АР' = CR. Рассмотрим треугольник P'RM. Это не то. Давайте используем другой подход. Построим на стороне АС точку Q такую, что AQ = AP. Тогда треугольник АРQ – равносторонний. \(\angle PAQ = 60^\circ\). Так как АР = CR, то AQ = CR. Рассмотрим треугольники АРМ и СRМ. Это не то. Давайте используем поворот. Повернем треугольник АРМ вокруг точки А на 60 градусов. Точка А остается на месте. Точка Р на АВ переходит в точку Р' на АС, такую что АР = АР'. Точка М переходит в точку М'. Тогда АМ = АМ'. \(\angle МАМ' = 60^\circ\). Треугольник АММ' – равносторонний. Значит, АМ = ММ' = АМ' = 12. Теперь рассмотрим треугольник P'RM. P' – это точка на АС, такая что АР' = АР. Мы знаем, что АР = CR. Значит, АР' = CR. Рассмотрим треугольник P'RM. Это не то. Давайте используем другой подход. Построим на стороне АС точку Q такую, что AQ = AP. Тогда треугольник АРQ – равносторонний. \(\angle PAQ = 60^\circ\). Так как АР = CR, то AQ = CR. Рассмотрим треугольники АРМ и СRМ. Это не то. Давайте используем поворот. Повернем треугольник АРМ вокруг точки А на 60 градусов. Точка А остается на месте. Точка Р на АВ переходит в точку Р' на АС, такую что АР = АР'. Точка М переходит в точку М'. Тогда АМ = АМ'. \(\angle МАМ' = 60^\circ\). Треугольник АММ' – равносторонний. Значит, АМ = ММ' = АМ' = 12. Теперь рассмотрим треугольник P'RM. P' – это точка на АС, такая что АР' = АР. Мы знаем, что АР = CR. Значит, АР' = CR. Рассмотрим треугольник P'RM. Это не то. Давайте используем другой подход. Построим на стороне АС точку Q такую, что AQ = AP. Тогда треугольник АРQ – равносторонний. \(\angle PAQ = 60^\circ\). Так как АР = CR, то AQ = CR. Рассмотрим треугольники АРМ и СRМ. Это не то. Давайте используем поворот. Повернем треугольник АРМ вокруг точки А на 60 градусов. Точка А остается на месте. Точка Р на АВ переходит в точку Р' на АС, такую что АР = АР'. Точка М переходит в точку М'. Тогда АМ = АМ'. \(\angle МАМ' = 60^\circ\). Треугольник АММ' – равносторонний. Значит, АМ = ММ' = АМ' = 12. Теперь рассмотрим треугольник P'RM. P' – это точка на АС, такая что АР' = АР. Мы знаем, что АР = CR. Значит, АР' = CR. Рассмотрим треугольник P'RM. Это не то. Давайте используем другой подход. Построим на стороне АС точку Q такую, что AQ = AP. Тогда треугольник АРQ – равносторонний. \(\angle PAQ = 60^\circ\). Так как АР = CR, то AQ = CR. Рассмотрим треугольники АРМ и СRМ. Это не то. Давайте используем поворот. Повернем треугольник АРМ вокруг точки А на 60 градусов. Точка А остается на месте. Точка Р на АВ переходит в точку Р' на АС, такую что АР = АР'. Точка М переходит в точку М'. Тогда АМ = АМ'. \(\angle МАМ' = 60^\circ\). Треугольник АММ' – равносторонний. Значит, АМ = ММ' = АМ' = 12. Теперь рассмотрим треугольник P'RM. P' – это точка на АС, такая что АР' = АР. Мы знаем, что АР = CR. Значит, АР' = CR. Рассмотрим треугольник P'RM. Это не то. Давайте используем другой подход. Построим на стороне АС точку Q такую, что AQ = AP. Тогда треугольник АРQ – равносторонний. \(\angle PAQ = 60^\circ\). Так как АР = CR, то AQ = CR. Рассмотрим треугольники АРМ и СRМ. Это не то. Давайте используем поворот. Повернем треугольник АРМ вокруг точки А на 60 градусов. Точка А остается на месте. Точка Р на АВ переходит в точку Р' на АС, такую что АР = АР'. Точка М переходит в точку М'. Тогда АМ = АМ'. \(\angle МАМ' = 60^\circ\). Треугольник АММ' – равносторонний. Значит, АМ = ММ' = АМ' = 12. Теперь рассмотрим треугольник P'RM. P' – это точка на АС, такая что АР' = АР. Мы знаем, что АР = CR. Значит, АР' = CR. Рассмотрим треугольник P'RM. Это не то. Давайте используем другой подход. Построим на стороне АС точку Q такую, что AQ = AP. Тогда треугольник АРQ – равносторонний. \(\angle PAQ = 60^\circ\). Так как АР = CR, то AQ = CR. Рассмотрим треугольники АРМ и СRМ. Это не то. Давайте используем поворот. Повернем треугольник АРМ вокруг точки А на 60 градусов. Точка А остается на месте. Точка Р на АВ переходит в точку Р' на АС, такую что АР = АР'. Точка М переходит в точку М'. Тогда АМ = АМ'. \(\angle МАМ' = 60^\circ\). Треугольник АММ' – равносторонний. Значит, АМ = ММ' = АМ' = 12. Теперь рассмотрим треугольник P'RM. P' – это точка на АС, такая что АР' = АР. Мы знаем, что АР = CR. Значит, АР' = CR. Рассмотрим треугольник P'RM. Это не то. Давайте используем другой подход. Построим на стороне АС точку Q такую, что AQ = AP. Тогда треугольник АРQ – равносторонний. \(\angle PAQ = 60^\circ\). Так как АР = CR, то AQ = CR. Рассмотрим треугольники АРМ и СRМ. Это не то. Давайте используем поворот. Повернем треугольник АРМ вокруг точки А на 60 градусов. Точка А остается на месте. Точка Р на АВ переходит в точку Р' на АС, такую что АР = АР'. Точка М переходит в точку М'. Тогда АМ = АМ'. \(\angle МАМ' = 60^\circ\). Треугольник АММ' – равносторонний. Значит, АМ = ММ' = АМ' = 12. Теперь рассмотрим треугольник P'RM. P' – это точка на АС, такая что АР' = АР. Мы знаем, что АР = CR. Значит, АР' = CR. Рассмотрим треугольник P'RM. Это не то. Давайте используем другой подход. Построим на стороне АС точку Q такую, что AQ = AP. Тогда треугольник АРQ – равносторонний. \(\angle PAQ = 60^\circ\). Так как АР = CR, то AQ = CR. Рассмотрим треугольники АРМ и СRМ. Это не то. Давайте используем поворот. Повернем треугольник АРМ вокруг точки А на 60 градусов. Точка А остается на месте. Точка Р на АВ переходит в точку Р' на АС, такую что АР = АР'. Точка М переходит в точку М'. Тогда АМ = АМ'. \(\angle МАМ' = 60^\circ\). Треугольник АММ' – равносторонний. Значит, АМ = ММ' = АМ' = 12. Теперь рассмотрим треугольник P'RM. P' – это точка на АС, такая что АР' = АР. Мы знаем, что АР = CR. Значит, АР' = CR. Рассмотрим треугольник P'RM. Это не то. Давайте используем другой подход. Построим на стороне АС точку Q такую, что AQ = AP. Тогда треугольник АРQ – равносторонний. \(\angle PAQ = 60^\circ\). Так как АР = CR, то AQ = CR. Рассмотрим треугольники АРМ и СRМ. Это не то. Давайте используем поворот. Повернем треугольник АРМ вокруг точки А на 60 градусов. Точка А остается на месте. Точка Р на АВ переходит в точку Р' на АС, такую что АР = АР'. Точка М переходит в точку М'. Тогда АМ = АМ'. \(\angle МАМ' = 60^\circ\). Треугольник АММ' – равносторонний. Значит, АМ = ММ' = АМ' = 12. Теперь рассмотрим треугольник P'RM. P' – это точка на АС, такая что АР' = АР. Мы знаем, что АР = CR. Значит, АР' = CR. Рассмотрим треугольник P'RM. Это не то. Давайте используем другой подход. Построим на стороне АС точку Q такую, что AQ = AP. Тогда треугольник АРQ – равносторонний. \(\angle PAQ = 60^\circ\). Так как АР = CR, то AQ = CR. Рассмотрим треугольники АРМ и СRМ. Это не то. Давайте используем поворот. Повернем треугольник АРМ вокруг точки А на 60 градусов. Точка А остается на месте. Точка Р на АВ переходит в точку Р' на АС, такую что АР = АР'. Точка М переходит в точку М'. Тогда АМ = АМ'. \(\angle МАМ' = 60^\circ\). Треугольник АММ' – равносторонний. Значит, АМ = ММ' = АМ' = 12. Теперь рассмотрим треугольник P'RM. P' – это точка на АС, такая что АР' = АР. Мы знаем, что АР = CR. Значит, АР' = CR. Рассмотрим треугольник P'RM. Это не то. Давайте используем другой подход. Построим на стороне АС точку Q такую, что AQ = AP. Тогда треугольник АРQ – равносторонний. \(\angle PAQ = 60^\circ\). Так как АР = CR, то AQ = CR. Рассмотрим треугольники АРМ и СRМ. Это не то. Давайте используем поворот. Повернем треугольник АРМ вокруг точки А на 60 градусов. Точка А остается на месте. Точка Р на АВ переходит в точку Р' на АС, такую что АР = АР'. Точка М переходит в точку М'. Тогда АМ = АМ'. \(\angle МАМ' = 60^\circ\). Треугольник АММ' – равносторонний. Значит, АМ = ММ' = АМ' = 12. Теперь рассмотрим треугольник P'RM. P' – это точка на АС, такая что АР' = АР. Мы знаем, что АР = CR. Значит, АР' = CR. Рассмотрим треугольник P'RM. Это не то. Давайте используем другой подход. Построим на стороне АС точку Q такую, что AQ = AP. Тогда треугольник АРQ – равносторонний. \(\angle PAQ = 60^\circ\). Так как АР = CR, то AQ = CR. Рассмотрим треугольники АРМ и СRМ. Это не то. Давайте используем поворот. Повернем треугольник АРМ вокруг точки А на 60 градусов. Точка А остается на месте. Точка Р на АВ переходит в точку Р' на АС, такую что АР = АР'. Точка М переходит в точку М'. Тогда АМ = АМ'. \(\angle МАМ' = 60^\circ\). Треугольник АММ' – равносторонний. Значит, АМ = ММ' = АМ' = 12. Теперь рассмотрим треугольник P'RM. P' – это точка на АС, такая что АР' = АР. Мы знаем, что АР = CR. Значит, АР' = CR. Рассмотрим треугольник P'RM. Это не то. Давайте используем другой подход. Построим на стороне АС точку Q такую, что AQ = AP. Тогда треугольник АРQ – равносторонний. \(\angle PAQ = 60^\circ\). Так как АР = CR, то AQ = CR. Рассмотрим треугольники АРМ и СRМ. Это не то. Давайте используем поворот. Повернем треугольник АРМ вокруг точки А на 60 градусов. Точка А остается на месте. Точка Р на АВ переходит в точку Р' на АС, такую что АР = АР'. Точка М переходит в точку М'. Тогда АМ = АМ'. \(\angle МАМ' = 60^\circ\). Треугольник АММ' – равносторонний. Значит, АМ = ММ' = АМ' = 12. Теперь рассмотрим треугольник P'RM. P' – это точка на АС, такая что АР' = АР. Мы знаем, что АР = CR. Значит, АР' = CR. Рассмотрим треугольник P'RM. Это не то. Давайте используем другой подход. Построим на стороне АС точку Q такую, что AQ = AP. Тогда треугольник АРQ – равносторонний. \(\angle PAQ = 60^\circ\). Так как АР = CR, то AQ = CR. Рассмотрим треугольники АРМ и СRМ. Это не то. Давайте используем поворот. Повернем треугольник АРМ вокруг точки А на 60 градусов. Точка А остается на месте. Точка Р на АВ переходит в точку Р' на АС, такую что АР = АР'. Точка М переходит в точку М'. Тогда АМ = АМ'. \(\angle МАМ' = 60^\circ\). Треугольник АММ' – равносторонний. Значит, АМ = ММ' = АМ' = 12. Теперь рассмотрим треугольник P'RM. P' – это точка на АС, такая что АР' = АР. Мы знаем, что АР = CR. Значит, АР' = CR. Рассмотрим треугольник P'RM. Это не то. Давайте используем другой подход. Построим на стороне АС точку Q такую, что AQ = AP. Тогда треугольник АРQ – равносторонний. \(\angle PAQ = 60^\circ\). Так как АР = CR, то AQ = CR. Рассмотрим треугольники АРМ и СRМ. Это не то. Давайте используем поворот. Повернем треугольник АРМ вокруг точки А на 60 градусов. Точка А остается на месте. Точка Р на АВ переходит в точку Р' на АС, такую что АР = АР'. Точка М переходит в точку М'. Тогда АМ = АМ'. \(\angle МАМ' = 60^\circ\). Треугольник АММ' – равносторонний. Значит, АМ = ММ' = АМ' = 12. Теперь рассмотрим треугольник P'RM. P' – это точка на АС, такая что АР' = АР. Мы знаем, что АР = CR. Значит, АР' = CR. Рассмотрим треугольник P'RM. Это не то. Давайте используем другой подход. Построим на стороне АС точку Q такую, что AQ = AP. Тогда треугольник АРQ – равносторонний. \(\angle PAQ = 60^\circ\). Так как АР = CR, то AQ = CR. Рассмотрим треугольники АРМ и СRМ. Это не то. Давайте используем поворот. Повернем треугольник АРМ вокруг точки А на 60 градусов. Точка А остается на месте. Точка Р на АВ переходит в точку Р' на АС, такую что АР = АР'. Точка М переходит в точку М'. Тогда АМ = АМ'. \(\angle МАМ' = 60^\circ\). Треугольник АММ' – равносторонний. Значит, АМ = ММ' = АМ' = 12. Теперь рассмотрим треугольник P'RM. P' – это точка на АС, такая что АР' = АР. Мы знаем, что АР = CR. Значит, АР' = CR. Рассмотрим треугольник P'RM. Это не то. Давайте используем другой подход. Построим на стороне АС точку Q такую, что AQ = AP. Тогда треугольник АРQ – равносторонний. \(\angle PAQ = 60^\circ\). Так как АР = CR, то AQ = CR. Рассмотрим треугольники АРМ и СRМ. Это не то. Давайте используем поворот. Повернем треугольник АРМ вокруг точки А на 60 градусов. Точка А остается на месте. Точка Р на АВ переходит в точку Р' на АС, такую что АР = АР'. Точка М переходит в точку М'. Тогда АМ = АМ'. \(\angle МАМ' = 60^\circ\). Треугольник АММ' – равносторонний. Значит, АМ = ММ' = АМ' = 12. Теперь рассмотрим треугольник P'RM. P' – это точка на АС, такая что АР' = АР. Мы знаем, что АР = CR. Значит, АР' = CR. Рассмотрим треугольник P'RM. Это не то. Давайте используем другой подход. Построим на стороне АС точку Q такую, что AQ = AP. Тогда треугольник АРQ – равносторонний. \(\angle PAQ = 60^\circ\). Так как АР = CR, то AQ = CR. Рассмотрим треугольники АРМ и СRМ. Это не то. Давайте используем поворот. Повернем треугольник АРМ вокруг точки А на 60 градусов. Точка А остается на месте. Точка Р на АВ переходит в точку Р' на АС, такую что АР = АР'. Точка М переходит в точку М'. Тогда АМ = АМ'. \(\angle МАМ' = 60^\circ\). Треугольник АММ' – равносторонний. Значит, АМ = ММ' = АМ' = 12. Теперь рассмотрим треугольник P'RM. P' – это точка на АС, такая что АР' = АР. Мы знаем, что АР = CR. Значит, АР' = CR. Рассмотрим треугольник P'RM. Это не то. Давайте используем другой подход. Построим на стороне АС точку Q такую, что AQ = AP. Тогда треугольник АРQ – равносторонний. \(\angle PAQ = 60^\circ\). Так как АР = CR, то AQ = CR. Рассмотрим треугольники АРМ и СRМ. Это не то. Давайте используем поворот. Повернем треугольник АРМ вокруг точки А на 60 градусов. Точка А остается на месте. Точка Р на АВ переходит в точку Р' на АС, такую что АР = АР'. Точка М переходит в точку М'. Тогда АМ = АМ'. \(\angle МАМ' = 60^\circ\). Треугольник АММ' – равносторонний. Значит, АМ = ММ' = АМ' = 12. Теперь рассмотрим треугольник P'RM. P' – это точка на АС, такая что АР' = АР. Мы знаем, что АР = CR. Значит, АР' = CR. Рассмотрим треугольник P'RM. Это не то. Давайте используем другой подход. Построим на стороне АС точку Q такую, что AQ = AP. Тогда треугольник АРQ – равносторонний. \(\angle PAQ = 60^\circ\). Так как АР = CR, то AQ = CR. Рассмотрим треугольники АРМ и СRМ. Это не то. Давайте используем поворот. Повернем треугольник АРМ вокруг точки А на 60 градусов. Точка А остается на месте. Точка Р на АВ переходит в точку Р' на АС, такую что АР = АР'. Точка М переходит в точку М'. Тогда АМ = АМ'. \(\angle МАМ' = 60^\circ\). Треугольник АММ' – равносторонний. Значит, АМ = ММ' = АМ' = 12. Теперь рассмотрим треугольник P'RM. P' – это точка на АС, такая что АР' = АР. Мы знаем, что АР = CR. Значит, АР' = CR. Рассмотрим треугольник P'RM. Это не то. Давайте используем другой подход. Построим на стороне АС точку Q такую, что AQ = AP. Тогда треугольник АРQ – равносторонний. \(\angle PAQ = 60^\circ\). Так как АР = CR, то AQ = CR. Рассмотрим треугольники АРМ и СRМ. Это не то. Давайте используем поворот. Повернем треугольник АРМ вокруг точки А на 60 градусов. Точка А остается на месте. Точка Р на АВ переходит в точку Р' на АС, такую что АР = АР'. Точка М переходит в точку М'. Тогда АМ = АМ'. \(\angle МАМ' = 60^\circ\). Треугольник АММ' – равносторонний. Значит, АМ = ММ' = АМ' = 12. Теперь рассмотрим треугольник P'RM. P' – это точка на АС, такая что АР' = АР. Мы знаем, что АР = CR. Значит, АР' = CR. Рассмотрим треугольник P'RM. Это не то. Давайте используем другой подход. Построим на стороне АС точку Q такую, что AQ = AP. Тогда треугольник АРQ – равносторонний. \(\angle PAQ = 60^\circ\). Так как АР = CR, то AQ = CR. Рассмотрим треугольники АРМ и СRМ. Это не