Найти площадь трапеции: Решение задачи

Задача №18 Дано: \(ABCD\) — трапеция. \(M\) — середина \(BC\) (\(BM = MC\)). \(AD : BC = 2 : 1\). \(S_{\triangle AMD} = 120\). Найти: \(S_{ABCD}\) Решение: 1. Пусть высота трапеции равна \(h\). Эта высота является общей для трапеции \(ABCD\) и для треугольника \(AMD\), так как вершина \(M\) лежит на прямой \(BC\), параллельной основанию \(AD\). 2. Площадь треугольника \(AMD\) вычисляется по формуле: \[S_{\triangle AMD} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot h\] По условию \(S_{\triangle AMD} = 120\), следовательно: \[\frac{1}{2} \cdot AD \cdot h = 120 \implies AD \cdot h = 240\] 3. Из отношения \(AD : BC = 2 : 1\) следует, что \(AD = 2 \cdot BC\), или \(BC = \frac{1}{2} AD\). 4. Площадь трапеции \(ABCD\) вычисляется по формуле: \[S_{ABCD} = \frac{AD + BC}{2} \cdot h\] 5. Подставим в формулу площади трапеции выражение для \(BC\): \[S_{ABCD} = \frac{AD + 0,5 \cdot AD}{2} \cdot h = \frac{1,5 \cdot AD}{2} \cdot h = 0,75 \cdot AD \cdot h\] 6. Так как из пункта 2 мы знаем, что \(AD \cdot h = 240\), подставим это значение: \[S_{ABCD} = 0,75 \cdot 240 = 180\] Ответ: 180.