50 Очень Сложных Формул с Решениями

Ниже представлен список из 50 сложных и длинных формул из различных разделов математики и физики, записанных в формате MathJax для удобного переписывания в тетрадь. 1. Формула корней квадратного уравнения: \[x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\] 2. Разложение синуса в ряд Тейлора: \[\sin(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \dots\] 3. Уравнение Шрёдингера (стационарное): \[-\frac{\hbar^2}{2m} \left( \frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \psi}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 \psi}{\partial z^2} \right) + U(x,y,z)\psi = E\psi\] 4. Формула Эйлера для комплексных чисел: \[e^{i\pi} + 1 = 0\] 5. Интеграл вероятности (Гаусса): \[\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} dx = \sqrt{\pi}\] 6. Закон всемирного тяготения Ньютона в векторной форме: \[\vec{F} = G \frac{m_1 m_2}{|\vec{r}_{21}|^2} \frac{\vec{r}_{21}}{|\vec{r}_{21}|}\] 7. Преобразование Лоренца для времени: \[t' = \frac{t - \frac{vx}{c^2}}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}\] 8. Формула полной вероятности: \[P(A) = \sum_{i=1}^{n} P(H_i) \cdot P(A|H_i)\] 9. Определенный интеграл по частям: \[\int_{a}^{b} u(x) v'(x) dx = u(b)v(b) - u(a)v(a) - \int_{a}^{b} v(x) u'(x) dx\] 10. Уравнение состояния идеального газа (Менделеева-Клапейрона): \[P \cdot V = \frac{m}{M} \cdot R \cdot T\] 11. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа: \[f(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k + \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}\] 12. Второе уравнение Максвелла (закон Гаусса для магнетизма): \[\oint_{S} \vec{B} \cdot d\vec{S} = 0\] 13. Решение линейного дифференциального уравнения первого порядка: \[y(x) = e^{-\int p(x) dx} \left( \int q(x) e^{\int p(x) dx} dx + C \right)\] 14. Формула для n-го члена арифметической прогрессии: \[a_n = a_1 + (n-1)d\] 15. Сумма бесконечной геометрической прогрессии: \[S = \frac{b_1}{1 - q}, \text{ при } |q| < 1\] 16. Формула тонкой линзы: \[\frac{1}{F} = \frac{1}{d} + \frac{1}{f} = (n - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)\] 17. Энергия связи ядра: \[E_{cb} = [Z \cdot m_p + (A - Z) \cdot m_n - M_{ya}] \cdot c^2\] 18. Формула Стокса: \[\oint_{L} \vec{A} \cdot d\vec{l} = \iint_{S} (\text{rot} \vec{A}) \cdot d\vec{S}\] 19. Разложение косинуса в ряд: \[\cos(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}\] 20. Формула Бернулли в теории вероятностей: \[P_n(k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k}\] 21. Квадрат модуля волновой функции: \[|\psi(x,t)|^2 = \psi(x,t) \cdot \psi^*(x,t)\] 22. Формула для вычисления кривизны плоской кривой: \[K = \frac{|y''|}{(1 + (y')^2)^{3/2}}\] 23. Уравнение Навье-Стокса (упрощенное): \[\rho \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v} \right) = -\nabla p + \mu \Delta \vec{v} + \vec{f}\] 24. Формула Остроградского-Гаусса: \[\iiint_{V} \text{div} \vec{F} dV = \iint_{S} \vec{F} \cdot d\vec{S}\] 25. Длина дуги кривой в декартовых координатах: \[L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + (f'(x))^2} dx\] 26. Формула Циолковского: \[V = I \cdot \ln \left( \frac{M_1}{M_2} \right)\] 27. Закон Био-Савара-Лапласа: \[d\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I [d\vec{l} \times \vec{r}]}{r^3}\] 28. Формула Муавра: \[(r(\cos \phi + i \sin \phi))^n = r^n (\cos(n\phi) + i \sin(n\phi))\] 29. Объем тела вращения вокруг оси OX: \[V_x = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 dx\] 30. Уравнение дифракционной решетки: \[d \sin \phi = k \lambda\] 31. Формула Планка для излучения абсолютно черного тела: \[\epsilon_{\lambda, T} = \frac{2\pi hc^2}{\lambda^5} \frac{1}{e^{\frac{hc}{\lambda kT}} - 1}\] 32. Матрица поворота в трехмерном пространстве вокруг оси Z: \[R_z(\theta) = \begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta & 0 \\ \sin \theta & \cos \theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\] 33. Формула Симпсона для численного интегрирования: \[\int_{a}^{b} f(x) dx \approx \frac{b-a}{6} \left( f(a) + 4f\left(\frac{a+b}{2}\right) + f(b) \right)\] 34. Релятивистский закон сложения скоростей: \[u = \frac{v + w}{1 + \frac{vw}{c^2}}\] 35. Формула для емкости плоского конденсатора: \[C = \frac{\epsilon \epsilon_0 S}{d}\] 36. Уравнение Эйнштейна для фотоэффекта: \[h\nu = A_{out} + \frac{mv^2}{2}\] 37. Двойной интеграл в полярных координатах: \[\iint_{D} f(x,y) dx dy = \iint_{D^*} f(r\cos\phi, r\sin\phi) r dr d\phi\] 38. Формула Байеса: \[P(H_i|A) = \frac{P(H_i) P(A|H_i)}{\sum_{j=1}^{n} P(H_j) P(A|H_j)}\] 39. Момент инерции тонкого стержня относительно центра: \[I = \frac{1}{12} m L^2\] 40. Уравнение адиабатного процесса (Пуассона): \[P V^{\gamma} = \text{const}\] 41. Формула для вычисления площади поверхности вращения: \[S = 2\pi \int_{a}^{b} f(x) \sqrt{1 + (f'(x))^2} dx\] 42. Напряженность поля точечного заряда: \[\vec{E} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q}{r^2} \frac{\vec{r}}{r}\] 43. Формула для коэффициента корреляции Пирсона: \[r_{xy} = \frac{\sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sqrt{\sum (x_i - \bar{x})^2 \sum (y_i - \bar{y})^2}}\] 44. Уравнение гармонических колебаний: \[x(t) = A \cos(\omega_0 t + \phi_0)\] 45. Цикл Карно (КПД): \[\eta = \frac{T_1 - T_2}{T_1} = 1 - \frac{T_2}{T_1}\] 46. Формула для индуктивности соленоида: \[L = \mu_0 \mu \frac{N^2 S}{l}\] 47. Скалярное произведение векторов через координаты: \[\vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z\] 48. Формула для давления внутри жидкости: \[P = P_0 + \rho g h\] 49. Уравнение прямой с угловым коэффициентом: \[y - y_0 = k(x - x_0)\] 50. Основное тригонометрическое тождество: \[\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\]