Уравнения с разделяющимися переменными: Общий вид и решение

Общий вид и метод решения уравнений с разделяющимися переменными Дифференциальное уравнение первого порядка называется уравнением с разделяющимися переменными, если его можно представить в виде: \[ \frac{dy}{dx} = f(x) \cdot g(y) \] Или в дифференциальной форме: \[ M(x)N(y)dx + P(x)Q(y)dy = 0 \] Метод решения (алгоритм): 1. Записать производную через отношение дифференциалов: \[ \frac{dy}{dx} = f(x)g(y) \] 2. Разделить переменные. Для этого нужно перенести все члены с \( y \) в одну сторону уравнения (к \( dy \)), а все члены с \( x \) — в другую (к \( dx \)). Это делается путем умножения или деления обеих частей уравнения на соответствующие выражения: \[ \frac{dy}{g(y)} = f(x)dx \] При этом важно помнить, что деление на выражение, содержащее переменную, может привести к потере решений (нужно отдельно проверить случаи, когда \( g(y) = 0 \)). 3. Проинтегрировать обе части полученного равенства: \[ \int \frac{dy}{g(y)} = \int f(x)dx \] 4. После вычисления интегралов получится выражение вида: \[ G(y) = F(x) + C \] где \( C \) — произвольная постоянная. Это выражение называется общим интегралом дифференциального уравнения. Если возможно, полученное уравнение разрешают относительно \( y \), получая общее решение: \[ y = \phi(x, C) \] Пример решения: Дано уравнение: \( \frac{dy}{dx} = \frac{x}{y} \) 1. Разделяем переменные: \[ y dy = x dx \] 2. Интегрируем: \[ \int y dy = \int x dx \] 3. Находим первообразные: \[ \frac{y^2}{2} = \frac{x^2}{2} + C_1 \] 4. Упрощаем (умножим на 2 и обозначим \( 2C_1 \) как \( C \)): \[ y^2 = x^2 + C \]