Решение однородных дифференциальных уравнений

Общий вид и метод решения однородных дифференциальных уравнений Дифференциальное уравнение первого порядка вида \( M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 \) называется однородным, если функции \( M(x, y) \) и \( N(x, y) \) являются однородными функциями одной и той же степени. Чаще всего однородное уравнение записывают в виде: \[ \frac{dy}{dx} = f\left(\frac{y}{x}\right) \] Главный признак такого уравнения: если в правой части заменить \( x \) на \( tx \), а \( y \) на \( ty \), то значение функции не изменится, так как параметр \( t \) сократится. Метод решения (алгоритм): 1. Привести уравнение к виду \( y' = f\left(\frac{y}{x}\right) \). 2. Ввести замену переменной: \[ u = \frac{y}{x} \text{ или } y = u \cdot x \] где \( u = u(x) \) — новая неизвестная функция. 3. Найти производную функции \( y \): По правилу производной произведения: \[ \frac{dy}{dx} = u + x \cdot \frac{du}{dx} \] 4. Подставить выражения для \( y \) и \( y' \) в исходное уравнение: \[ u + x \frac{du}{dx} = f(u) \] 5. Преобразовать уравнение к виду с разделяющимися переменными: \[ x \frac{du}{dx} = f(u) - u \] \[ \frac{du}{f(u) - u} = \frac{dx}{x} \] 6. Проинтегрировать обе части: \[ \int \frac{du}{f(u) - u} = \int \frac{dx}{x} \] 7. После нахождения интеграла и получения общего интеграла \( \Phi(u, x, C) = 0 \), сделать обратную замену, подставив \( u = \frac{y}{x} \). Пример решения: Дано уравнение: \( y' = \frac{y}{x} + 1 \) 1. Замена: \( y = ux \), тогда \( y' = u + xu' \). 2. Подставляем: \( u + x \frac{du}{dx} = u + 1 \). 3. Сокращаем \( u \): \( x \frac{du}{dx} = 1 \). 4. Разделяем переменные: \( du = \frac{dx}{x} \). 5. Интегрируем: \( \int du = \int \frac{dx}{x} \). 6. Получаем: \( u = \ln|x| + C \). 7. Обратная замена: \( \frac{y}{x} = \ln|x| + C \). 8. Ответ: \( y = x(\ln|x| + C) \).