Решение задач по теории вероятностей

Решение задач (Вариант 2) Задача 1. Общее количество ученых: \(8 + 7 + 5 = 20\). Количество ученых из Чили: \(7\). Вероятность того, что вторым окажется доклад ученого из Чили: \[P = \frac{7}{20} = 0,35\] Ответ: 0,35. Задача 2. События "температура ниже 36,8" и "температура 36,8 или выше" являются противоположными. \[P = 1 - 0,91 = 0,09\] Ответ: 0,09. Задача 3. Так как задачи не относятся к двум темам одновременно, события несовместны. Вероятность суммы событий равна сумме их вероятностей: \[P = 0,1 + 0,6 = 0,7\] Ответ: 0,7. Задача 4. Всего исходов при бросании двух костей: \(6 \times 6 = 36\). Исключаем исходы, где выпала пятерка: (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (1,5), (2,5), (3,5), (4,5), (6,5) — всего 11 исходов. Оставшееся количество исходов: \(36 - 11 = 25\). Благоприятные исходы (сумма 7) без пятерок: (1,6), (2,5) - нет, (3,4), (4,3), (5,2) - нет, (6,1). Итого благоприятных: (1,6), (3,4), (4,3), (6,1) — всего 4 исхода. \[P = \frac{4}{25} = 0,16\] Ответ: 0,16. Задача 5. Вероятность промаха: \(1 - 0,9 = 0,1\). Событие: промах, промах, промах, попадание. \[P = 0,1 \times 0,1 \times 0,1 \times 0,9 = 0,0009\] Ответ: 0,0009. Задача 6. Пусть \(A\) — кофе закончится в 1-м автомате, \(B\) — во 2-м. \(P(A) = 0,21\), \(P(B) = 0,21\), \(P(A \cap B) = 0,15\). Вероятность того, что кофе закончится хотя бы в одном: \[P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = 0,21 + 0,21 - 0,15 = 0,27\] Вероятность того, что кофе останется в обоих: \[P = 1 - 0,27 = 0,73\] Ответ: 0,73. Задача 7. Площадь круга: \(S_{кр} = \pi \cdot 10^2 = 100\pi \approx 314\) см\(^2\). Площадь треугольника: \(S_{тр} = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 7 = 42\) см\(^2\). Вероятность попадания в треугольник: \(P_{поп} = \frac{42}{100\pi}\). Вероятность промаха: \[P = 1 - \frac{42}{100\pi} \approx 1 - 0,1338 = 0,8662\] Ответ: \(\approx 0,87\). Задача 8. Всего фломастеров: \(12 + 6 + 7 = 25\). Общее число способов выбрать 2 фломастера: \(C_{25}^2 = \frac{25 \cdot 24}{2} = 300\). Число способов выбрать 1 синий и 1 красный: \(12 \times 6 = 72\). \[P = \frac{72}{300} = 0,24\] Ответ: 0,24. Задача 9. Используем формулу Бернулли: \(n=8, k=6, p=2/3, q=1/3\). \[P_8(6) = C_8^6 \cdot (\frac{2}{3})^6 \cdot (\frac{1}{3})^2 = 28 \cdot \frac{64}{729} \cdot \frac{1}{9} = \frac{1792}{6561} \approx 0,273\] Ответ: \(\approx 0,273\). Задача 10. Событие \(A\) — батарейка забракована. \(H_1\) — батарейка неисправна (\(P(H_1)=0,06\)), \(H_2\) — исправна (\(P(H_2)=0,94\)). \(P(A|H_1) = 0,96\), \(P(A|H_2) = 0,01\). По формуле полной вероятности: \[P(A) = 0,06 \cdot 0,96 + 0,94 \cdot 0,01 = 0,0576 + 0,0094 = 0,067\] Ответ: 0,067. Задача 11. Сумма вероятностей равна 1: \(0,2 + 0,1 + 0,2 + 0,2 + P_5 = 1 \Rightarrow P_5 = 0,3\). \[M(X) = -4 \cdot 0,2 + (-2) \cdot 0,1 + 0 \cdot 0,2 + 5 \cdot 0,2 + 7 \cdot 0,3\] \[M(X) = -0,8 - 0,2 + 0 + 1,0 + 2,1 = 2,1\] Ответ: 2,1. Задача 13. Количество маршрутов — это число перестановок из 7 элементов: \[P_7 = 7! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 = 5040\] Ответ: 5040. Задача 14. Число способов выбрать 2 дежурных из 10: \[C_{10}^2 = \frac{10 \cdot 9}{2} = 45\] Ответ: 45.