Решение задачи: Криволинейный стержень AB, реакция опоры RA

Дано: Криволинейный стержень \(AB\) в форме дуги полуокружности радиуса \(R\) закреплен в точке \(A\) шарнирно-неподвижной опорой. В точке \(B\) стержень соединен шарниром с невесомым стержнем \(BC\), который образует угол \(\alpha = 45^{\circ}\) с вертикалью. Вес дугообразного стержня \(G_{AB} = 5\) Н. Стержень \(AB\) однороден. Найти: Реакцию опоры \(R_A\). Решение: 1. Определим положение центра тяжести однородной дуги полуокружности. Расстояние от центра диаметра \(AB\) до центра тяжести дуги по вертикальной оси симметрии вычисляется по формуле: \[y_C = \frac{2R}{\pi}\] Сила тяжести \(G_{AB}\) приложена в этой точке и направлена вертикально вниз. 2. Рассмотрим равновесие стержня \(AB\). На него действуют: - Реакция в шарнире \(A\), имеющая составляющие \(X_A\) и \(Y_A\). - Сила тяжести \(G_{AB}\). - Реакция стержня \(BC\), направленная вдоль него (так как стержень \(BC\) невесомый и двухшарнирный). Обозначим её \(S_{BC}\). 3. Составим уравнение моментов сил относительно точки \(A\). Плечо силы тяжести равно \(R\), плечо силы \(S_{BC}\) найдем через геометрию. Однако проще рассмотреть условия равновесия через проекции и моменты. Для дуги \(AB\) сумма моментов относительно точки \(A\): \[\sum M_A = 0: G_{AB} \cdot R - S_{BC} \cdot \cos(\alpha) \cdot 2R = 0\] Здесь \(2R\) — расстояние по горизонтали от \(A\) до \(B\), а вертикальная составляющая силы \(S_{BC}\) равна \(S_{BC} \cdot \cos(\alpha)\). Отсюда находим вертикальную составляющую реакции в точке \(B\): \[S_{BC} \cdot \cos(\alpha) = \frac{G_{AB} \cdot R}{2R} = \frac{G_{AB}}{2}\] \[S_{BC} \cdot \cos(45^{\circ}) = \frac{5}{2} = 2,5 \text{ Н}\] 4. Так как \(\alpha = 45^{\circ}\), то \(\sin(45^{\circ}) = \cos(45^{\circ})\). Следовательно, горизонтальная составляющая реакции в точке \(B\) также равна: \[S_{BC} \cdot \sin(45^{\circ}) = 2,5 \text{ Н}\] 5. Из уравнений равновесия сил на оси \(Ox\) и \(Oy\): \[\sum F_x = 0: X_A - S_{BC} \cdot \sin(\alpha) = 0 \Rightarrow X_A = 2,5 \text{ Н}\] \[\sum F_y = 0: Y_A - G_{AB} + S_{BC} \cdot \cos(\alpha) = 0 \Rightarrow Y_A = 5 - 2,5 = 2,5 \text{ Н}\] 6. Полная реакция опоры \(A\) определяется по теореме Пифагора: \[R_A = \sqrt{X_A^2 + Y_A^2}\] \[R_A = \sqrt{2,5^2 + 2,5^2} = 2,5 \cdot \sqrt{2} \approx 2,5 \cdot 1,414 = 3,535 \text{ Н}\] Округляя до сотых, получаем \(R_A \approx 3,54\) Н. Ответ: \(R_A = 3,54\) Н.