Представлены решения логарифмических неравенств с подробным разбором ОДЗ и построением интервалов. Найдены решения для заданных примеров с визуализацией на числовой прямой.
check_circle
Подробное решение
Конечно, давайте нарисуем интервалы для каждого номера.
а) \( \log_4(x-2) < 2 \)
О.Д.З.: \( x > 2 \)
Решение неравенства:
\( x - 2 < 4^2 \)
\( x - 2 < 16 \)
\( x < 18 \)
С учетом О.Д.З. \( x > 2 \), получаем:
\( 2 < x < 18 \)
Ответ: \( (2; 18) \)
Интервал для а):
```
<--------------------------------------------------------------------->
-∞ 2 18 +∞
(-------------)
```
б) \( \log_{\frac{1}{3}}(3-2x) > -1 \)
О.Д.З.: \( 3-2x > 0 \Rightarrow -2x > -3 \Rightarrow x < 1.5 \)
Решение неравенства (так как основание логарифма \( 0 < \frac{1}{3} < 1 \), знак неравенства меняется на противоположный):
\( 3-2x < \left(\frac{1}{3}\right)^{-1} \)
\( 3-2x < 3 \)
\( -2x < 0 \)
\( x > 0 \)
С учетом О.Д.З. \( x < 1.5 \), получаем:
\( 0 < x < 1.5 \)
Ответ: \( (0; 1.5) \)
Интервал для б):
```
<--------------------------------------------------------------------->
-∞ 0 1.5 +∞
(-------------)
```
в) \( \log_5(3x+1) > 2 \)
О.Д.З.: \( 3x+1 > 0 \Rightarrow 3x > -1 \Rightarrow x > -\frac{1}{3} \)
Решение неравенства (так как основание логарифма \( 5 > 1 \), знак неравенства сохраняется):
\( 3x+1 > 5^2 \)
\( 3x+1 > 25 \)
\( 3x > 24 \)
\( x > 8 \)
С учетом О.Д.З. \( x > -\frac{1}{3} \), получаем:
\( x > 8 \)
Ответ: \( (8; \infty) \)
Интервал для в):
```
<--------------------------------------------------------------------->
-∞ -1/3 8 +∞
(------------------------------------->
```
г) \( \log_{\frac{1}{7}}(4x+1) < -2 \)
О.Д.З.: \( 4x+1 > 0 \Rightarrow 4x > -1 \Rightarrow x > -\frac{1}{4} \)
Решение неравенства (так как основание логарифма \( 0 < \frac{1}{7} < 1 \), знак неравенства меняется на противоположный):
\( 4x+1 > \left(\frac{1}{7}\right)^{-2} \)
\( 4x+1 > 7^2 \)
\( 4x+1 > 49 \)
\( 4x > 48 \)
\( x > 12 \)
С учетом О.Д.З. \( x > -\frac{1}{4} \), получаем:
\( x > 12 \)
Ответ: \( (12; \infty) \)
Интервал для г):
```
<--------------------------------------------------------------------->
-∞ -1/4 12 +∞
(------------------------------------->
```
