Решение задачи: Нарисуй пример каждой теореме

Ниже представлены описания чертежей для каждой теоремы, которые удобно перерисовать в тетрадь. Поскольку я текстовый помощник, я опишу, как должен выглядеть каждый рисунок, и укажу необходимые обозначения. Взаимное расположение двух прямых в пространстве Теорема 1. Нарисуйте прямую \( a \) и точку \( M \), не лежащую на ней. Проведите через \( M \) прямую \( b \), параллельную \( a \). Обозначьте: \( b \parallel a \). Теорема 2. Нарисуйте три параллельные прямые \( a \), \( b \) и \( c \). Подпишите: если \( a \parallel c \) и \( b \parallel c \), то \( a \parallel b \). Теорема 3. Нарисуйте плоскость \( \alpha \) (в виде параллелограмма). В ней проведите прямую \( a \). Нарисуйте прямую \( b \), которая пересекает плоскость \( \alpha \) в точке \( K \), причем \( K \notin a \). Прямые \( a \) и \( b \) — скрещивающиеся. Взаимное расположение прямой и плоскости Теорема 4. Плоскость \( \alpha \), в ней прямая \( b \). Вне плоскости прямая \( a \), параллельная \( b \). Итог: \( a \parallel \alpha \). Теорема 5. Две пересекающиеся плоскости \( \alpha \) и \( \beta \). Линия их пересечения — прямая \( c \). Проведите в \( \alpha \) прямую \( a \), а в \( \beta \) прямую \( b \) так, чтобы \( a \parallel b \). Тогда \( a \parallel c \) и \( b \parallel c \). Теорема 6. Плоскость \( \alpha \) и параллельная ей прямая \( a \). Проведите плоскость \( \beta \) через прямую \( a \), пересекающую \( \alpha \) по линии \( b \). Итог: \( a \parallel b \). Теорема 7. Две параллельные прямые \( a \parallel b \) и плоскость \( \alpha \). Если \( a \parallel \alpha \), то и \( b \parallel \alpha \) (или \( b \subset \alpha \)). Теорема 8. Две скрещивающиеся прямые \( a \) и \( b \). Нарисуйте плоскость \( \alpha \), содержащую \( a \) и параллельную \( b \). Перпендикуляр и наклонная к плоскости Теорема 9. Плоскость \( \alpha \), в ней две пересекающиеся прямые \( b \) и \( c \). Прямая \( a \) перпендикулярна и \( b \), и \( c \) в точке их пересечения. Итог: \( a \perp \alpha \). Теорема 10. Из точки \( A \) над плоскостью \( \alpha \) проведен перпендикуляр \( AH \) и наклонные \( AB \) и \( AC \). а) \( AH < AB \); б) Если проекции \( HB = HC \), то \( AB = AC \); в) Если \( HB > HC \), то \( AB > AC \). Теорема 11. Тот же рисунок, что к Т10. а) Если \( AB = AC \), то \( HB = HC \); б) Если \( AB > AC \), то \( HB > HC \). Теорема 12 (ТТП). Плоскость \( \alpha \), наклонная \( AB \), ее проекция \( HB \). В плоскости проведена прямая \( m \) через точку \( B \). Если \( m \perp HB \), то \( m \perp AB \). Теорема 13. Тот же рисунок. Если \( m \perp AB \), то \( m \perp HB \). Связь параллельности и перпендикулярности Теорема 14. Две параллельные прямые \( a \parallel b \). Плоскость \( \alpha \). Если \( a \perp \alpha \), то \( b \perp \alpha \). Теорема 15. Две прямые \( a \) и \( b \), обе перпендикулярны плоскости \( \alpha \). Итог: \( a \parallel b \). Теорема 16. Прямая \( b \) и перпендикулярные ей плоскость \( \alpha \) и прямая \( a \) (вне плоскости). Итог: \( a \parallel \alpha \). Параллельные плоскости Теорема 17. Плоскость \( \alpha \) с пересекающимися прямыми \( a, b \). Плоскость \( \beta \) с пересекающимися прямыми \( a_1, b_1 \). Если \( a \parallel a_1 \) и \( b \parallel b_1 \), то \( \alpha \parallel \beta \). Теорема 18. Две плоскости \( \alpha \) и \( \beta \), обе перпендикулярны одной прямой \( a \). Итог: \( \alpha \parallel \beta \). Теорема 19. Две параллельные плоскости \( \alpha \parallel \beta \), их пересекает третья плоскость \( \gamma \). Линии пересечения \( a \) и \( b \) параллельны: \( a \parallel b \). Теорема 20. Три плоскости \( \alpha, \beta, \gamma \). Если \( \alpha \parallel \gamma \) и \( \beta \parallel \gamma \), то \( \alpha \parallel \beta \). Теорема 21. Плоскости \( \alpha \parallel \beta \). Плоскость \( \gamma \) пересекает \( \alpha \). Итог: \( \gamma \) пересекает и \( \beta \). Теорема 22. Плоскости \( \alpha \parallel \beta \). Прямая \( a \perp \alpha \). Итог: \( a \perp \beta \). Теорема 23. Две параллельные плоскости. Между ними два параллельных отрезка \( AB \) и \( CD \). Итог: \( AB = CD \). Теорема 24. Два угла с параллельными и сонаправленными сторонами. Итог: углы равны. Перпендикулярные плоскости Теорема 25. Плоскость \( \alpha \) и прямая \( l \perp \alpha \). Через \( l \) проходит плоскость \( \beta \). Итог: \( \alpha \perp \beta \). Теорема 26. Плоскости \( \alpha \perp \beta \), линия пересечения \( c \). В плоскости \( \alpha \) прямая \( a \perp c \). Итог: \( a \perp \beta \). Теорема 27. Плоскости \( \alpha \perp \beta \). Из точки \( M \in \alpha \) опущен перпендикуляр на \( \beta \). Этот перпендикуляр лежит в \( \alpha \). Теорема 28. Две пересекающиеся плоскости образуют двугранный угол с ребром \( c \). Плоскость \( \gamma \perp \alpha \) и \( \gamma \perp \beta \). Итог: \( \gamma \perp c \). Теорема 29. Плоскость \( \gamma \perp c \) (ребру двугранного угла). Итог: \( \gamma \perp \alpha \) и \( \gamma \perp \beta \).