Решение задачи: Найти AK

Ниже представлено решение задачи в виде, удобном для переписывания в школьную тетрадь. Дано: \(ABCD\) — прямоугольник; \(AK \perp (ABC)\); \(KD = 6\); \(KB = 7\); \(KC = 9\). Найти: \(AK\). Решение: 1. Так как \(AK \perp (ABC)\), то отрезок \(AK\) является перпендикуляром к плоскости основания, а отрезки \(AD\), \(AB\) и \(AC\) являются проекциями наклонных \(KD\), \(KB\) и \(KC\) соответственно на плоскость \((ABC)\). 2. Из прямоугольных треугольников \(KAD\), \(KAB\) и \(KAC\) (по теореме Пифагора) выразим квадраты проекций: \[AD^2 = KD^2 - AK^2 = 6^2 - AK^2 = 36 - AK^2\] \[AB^2 = KB^2 - AK^2 = 7^2 - AK^2 = 49 - AK^2\] \[AC^2 = KC^2 - AK^2 = 9^2 - AK^2 = 81 - AK^2\] 3. Рассмотрим прямоугольник \(ABCD\). По свойству прямоугольника, его диагональ \(AC\) связана со сторонами \(AB\) and \(AD\) соотношением (теорема Пифагора для \(\triangle ABC\)): \[AC^2 = AB^2 + AD^2\] 4. Подставим выраженные ранее значения в это уравнение: \[81 - AK^2 = (49 - AK^2) + (36 - AK^2)\] 5. Решим полученное уравнение относительно \(AK^2\): \[81 - AK^2 = 49 - AK^2 + 36 - AK^2\] \[81 - AK^2 = 85 - 2AK^2\] Перенесем слагаемые с \(AK^2\) в левую часть, а числа в правую: \[2AK^2 - AK^2 = 85 - 81\] \[AK^2 = 4\] \[AK = \sqrt{4} = 2\] Ответ: \(AK = 2\).