Решение задачи: Максимальная и минимальная масса

Дано: \(M = 2,1\) кг \(k = 6\) \(M_{лев} = kM = 6 \cdot 2,1 = 12,6\) кг Найти: \(m_{min}\), \(m_{max}\) Решение: Рычаг является однородным, его общая длина составляет 8 делений (согласно рисунку). Центр тяжести рычага находится в его геометрическом центре (точка \(O\)). Рычаг опирается на края стола в точках \(O_1\) и \(O_2\). Для того чтобы рычаг находился в равновесии и не опрокидывался, суммарный момент сил относительно точек опоры должен быть направлен так, чтобы прижимать рычаг к столу. 1. Нахождение минимальной массы \(m_{min}\): Рычаг начнет опрокидываться влево вокруг точки \(O_1\), если масса \(m\) будет слишком мала. В предельном случае (минимальное значение) сила реакции в точке \(O_2\) станет равной нулю. Запишем правило моментов относительно точки \(O_1\). Примем длину одного деления за \(L\). Плечо груза \(kM\) относительно \(O_1\) равно \(1L\). Плечо силы тяжести самого рычага \(Mg\) (приложена в центре \(O\)) относительно \(O_1\) равно \(3L\). Плечо груза \(m\) относительно \(O_1\) равно \(7L\). Уравнение моментов относительно \(O_1\): \[kM \cdot g \cdot 1L = M \cdot g \cdot 3L + m \cdot g \cdot 7L\] Разделим на \(g \cdot L\): \[kM = 3M + 7m\] \[6 \cdot 2,1 = 3 \cdot 2,1 + 7m\] \[12,6 = 6,3 + 7m\] \[7m = 6,3\] \[m_{min} = 0,9 \text{ кг}\] 2. Нахождение максимальной массы \(m_{max}\): Рычаг начнет опрокидываться вправо вокруг точки \(O_2\), если масса \(m\) будет слишком велика. В этом случае сила реакции в точке \(O_1\) станет равной нулю. Запишем правило моментов относительно точки \(O_2\). Плечо груза \(m\) относительно \(O_2\) равно \(1L\). Плечо силы тяжести рычага \(Mg\) относительно \(O_2\) равно \(1L\) (центр \(O\) находится слева от \(O_2\)). Плечо груза \(kM\) относительно \(O_2\) равно \(5L\). Уравнение моментов относительно \(O_2\): \[m \cdot g \cdot 1L = M \cdot g \cdot 1L + kM \cdot g \cdot 5L\] Разделим на \(g \cdot L\): \[m = M + 5kM\] \[m = 2,1 + 5 \cdot 12,6\] \[m = 2,1 + 63\] \[m_{max} = 65,1 \text{ кг}\] Ответ: Минимальное значение массы: \(0,9\) кг. Максимальное значение массы: \(65,1\) кг.