Решение дифференциального уравнения xdx = ydy

Решим данное дифференциальное уравнение. У нас дано уравнение: \(xdx = ydy\) И начальные условия: \(x = 2\), \(y = 1\)

1. Находим общее решение дифференциального уравнения

Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Чтобы найти общее решение, нужно проинтегрировать обе части уравнения: \[\int xdx = \int ydy\] При интегрировании получаем: \[\frac{x^2}{2} = \frac{y^2}{2} + C\] Где \(C\) - это произвольная постоянная интегрирования. Чтобы сделать запись более удобной, можно умножить всё на 2: \[x^2 = y^2 + 2C\] Обозначим \(2C\) как новую константу \(K\). Тогда общее решение будет: \[x^2 = y^2 + K\] Или, если выразить \(y^2\): \[y^2 = x^2 - K\] Это и есть общее решение данного дифференциального уравнения.

2. Находим частное решение, используя начальные условия

Теперь используем начальные условия \(x = 2\) и \(y = 1\), чтобы найти значение константы \(K\). Подставим эти значения в общее решение: \[x^2 = y^2 + K\] \[(2)^2 = (1)^2 + K\] \[4 = 1 + K\] Теперь найдем \(K\): \[K = 4 - 1\] \[K = 3\] Теперь, когда мы нашли значение \(K\), подставим его обратно в общее решение, чтобы получить частное решение: \[x^2 = y^2 + 3\] Или, если выразить \(y^2\): \[y^2 = x^2 - 3\] Это и есть частное решение данного дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям.

Ответ:

Общее решение: \[x^2 = y^2 + K\] или \[y^2 = x^2 - K\] Частное решение: \[x^2 = y^2 + 3\] или \[y^2 = x^2 - 3\]