Решение задачи xdx=ydy без константы интегрирования

Да, конечно, можно решить задачу без явного использования константы интегрирования \(C\) в промежуточных шагах, если сразу использовать определенные интегралы с пределами, соответствующими начальным условиям. Этот метод позволяет сразу получить частное решение.

Решение задачи без явной константы интегрирования

У нас дано уравнение: \(xdx = ydy\) И начальные условия: \(x = 2\), \(y = 1\) Мы можем интегрировать обе части уравнения от начальных значений до текущих переменных \(x\) и \(y\). Для левой части (по \(x\)) пределы будут от \(2\) до \(x\): \[\int_{2}^{x} t dt\] Для правой части (по \(y\)) пределы будут от \(1\) до \(y\): \[\int_{1}^{y} u du\] (Мы используем переменные \(t\) и \(u\) внутри интегралов, чтобы не путать их с пределами интегрирования \(x\) и \(y\)). Теперь вычислим эти определенные интегралы: Для левой части: \[\int_{2}^{x} t dt = \left[\frac{t^2}{2}\right]_{2}^{x} = \frac{x^2}{2} - \frac{2^2}{2} = \frac{x^2}{2} - \frac{4}{2} = \frac{x^2}{2} - 2\] Для правой части: \[\int_{1}^{y} u du = \left[\frac{u^2}{2}\right]_{1}^{y} = \frac{y^2}{2} - \frac{1^2}{2} = \frac{y^2}{2} - \frac{1}{2}\] Теперь приравняем результаты интегрирования: \[\frac{x^2}{2} - 2 = \frac{y^2}{2} - \frac{1}{2}\] Чтобы избавиться от дробей, умножим все члены уравнения на 2: \[x^2 - 4 = y^2 - 1\] Теперь выразим \(y^2\): \[y^2 = x^2 - 4 + 1\] \[y^2 = x^2 - 3\] Это и есть частное решение данного дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям.

Ответ:

Частное решение: \[y^2 = x^2 - 3\] Как видите, этот метод сразу приводит к частному решению, минуя этап нахождения общей константы \(K\).