Решение дифференциального уравнения (xy + x)dx/dy = 1

Решим дифференциальное уравнение: \[ (xy + x) \frac{dx}{dy} = 1 \] Шаг 1: Перепишем уравнение, чтобы разделить переменные. Для этого сначала вынесем \(x\) за скобки в левой части: \[ x(y + 1) \frac{dx}{dy} = 1 \] Теперь разделим переменные \(x\) и \(y\). Для этого умножим обе части на \(dy\) и разделим на \(x(y+1)\): \[ x(y + 1) dx = dy \] Ой, я допустил ошибку. Нужно было разделить на \(x(y+1)\) и умножить на \(dy\), чтобы получить \(dx\) и \(dy\) с соответствующими функциями. Давайте сделаем это правильно. \[ \frac{dx}{dy} = \frac{1}{x(y+1)} \] Теперь "перевернем" обе части, чтобы получить \(\frac{dy}{dx}\), так как обычно удобнее решать уравнения вида \(\frac{dy}{dx} = f(x,y)\): \[ \frac{dy}{dx} = x(y+1) \] Это уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные: \[ \frac{dy}{y+1} = x \, dx \] Шаг 2: Проинтегрируем обе части уравнения. \[ \int \frac{dy}{y+1} = \int x \, dx \] Вычислим интегралы: \[ \ln|y+1| = \frac{x^2}{2} + C \] где \(C\) - произвольная постоянная интегрирования. Шаг 3: Выразим \(y\). Чтобы избавиться от логарифма, возведем \(e\) в степень обеих частей уравнения: \[ e^{\ln|y+1|} = e^{\frac{x^2}{2} + C} \] \[ |y+1| = e^{\frac{x^2}{2}} \cdot e^C \] Обозначим \(e^C\) как новую произвольную положительную постоянную \(A\), где \(A > 0\). Тогда: \[ |y+1| = A e^{\frac{x^2}{2}} \] Уберем модуль, учтя, что \(A\) может быть как положительной, так и отрицательной (или нулем, если \(y+1=0\), что означает \(y=-1\)). Если \(y=-1\), то \(\frac{dy}{dx} = 0\), а \(x(y+1) = x(-1+1) = 0\), так что \(y=-1\) является решением. Таким образом, мы можем записать: \[ y+1 = K e^{\frac{x^2}{2}} \] где \(K\) - произвольная постоянная, которая может быть любой действительной числом (включая 0). Шаг 4: Выразим \(y\). \[ y = K e^{\frac{x^2}{2}} - 1 \] Это и есть общее решение дифференциального уравнения. Ответ: Общее решение дифференциального уравнения имеет вид: \[ y = K e^{\frac{x^2}{2}} - 1 \] где \(K\) - произвольная постоянная.