Решение задачи: Площадь трапеции (8 класс)

Вот решение задачи по геометрии для 8 класса. Название: Нахождение площади трапеции. Условие задачи: Дана трапеция \(ABCD\). Известно, что \(BC = 10\). Угол \(ABC = 135^\circ\). Высота \(CM = 12\), где \(M\) лежит на основании \(AD\). Стороны \(AB\) и \(CD\) равны (обозначены одинаковыми чёрточками на чертеже), что означает, что трапеция равнобедренная. Чертёж: (Здесь должен быть чертёж, аналогичный приведённому в условии, с обозначениями \(A, B, C, D, M\), длинами \(BC=10\), \(CM=12\) и углом \(ABC=135^\circ\). Также должны быть отмечены равные стороны \(AB\) и \(CD\)). Решение: 1. Поскольку трапеция \(ABCD\) равнобедренная, то углы при основаниях равны. Угол \(BAD = \) Угол \(CDA\). Угол \(ABC = \) Угол \(BCD = 135^\circ\). 2. Проведём вторую высоту из вершины \(B\) к основанию \(AD\). Обозначим точку пересечения с \(AD\) как \(K\). Тогда \(BK \perp AD\). Мы знаем, что \(CM \perp AD\). Отрезок \(KBCM\) образует прямоугольник, так как \(BC \parallel KM\) (основания трапеции параллельны) и \(BK \parallel CM\) (обе перпендикулярны \(AD\)). Следовательно, \(KM = BC = 10\). Также \(BK = CM = 12\). 3. Рассмотрим треугольник \(ABK\). Сумма углов в трапеции, прилежащих к боковой стороне, равна \(180^\circ\). Значит, Угол \(BAD + \) Угол \(ABC = 180^\circ\). Угол \(BAD = 180^\circ - \) Угол \(ABC = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ\). 4. В прямоугольном треугольнике \(ABK\): Угол \(AKB = 90^\circ\). Угол \(BAK = 45^\circ\). Следовательно, Угол \(ABK = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ\). Так как Угол \(BAK = \) Угол \(ABK = 45^\circ\), треугольник \(ABK\) является равнобедренным. Значит, \(AK = BK\). Мы знаем, что \(BK = 12\). Следовательно, \(AK = 12\). 5. Поскольку трапеция равнобедренная, отрезки, отсекаемые высотами на большем основании, равны. То есть, \(AK = MD\). Значит, \(MD = 12\). 6. Теперь найдём длину нижнего основания \(AD\). \(AD = AK + KM + MD\). \(AD = 12 + 10 + 12 = 34\). 7. Площадь трапеции вычисляется по формуле: \[S = \frac{a+b}{2} \cdot h\] где \(a\) и \(b\) - длины оснований, \(h\) - высота. В нашем случае: \(a = BC = 10\) \(b = AD = 34\) \(h = CM = 12\) 8. Подставим значения в формулу: \[S = \frac{10+34}{2} \cdot 12\] \[S = \frac{44}{2} \cdot 12\] \[S = 22 \cdot 12\] \[S = 264\] Ответ: Площадь трапеции равна \(264\) квадратных единиц.