Решение задачи: Наименьшее значение функции y=e^(2x) -2e^x -27 на [-1;2]

Решение: Для того чтобы найти наименьшее значение функции на отрезке, нужно выполнить следующие шаги: 1. Найти производную функции. 2. Приравнять производную к нулю, чтобы найти критические точки. 3. Вычислить значения функции в критических точках, попадающих в заданный отрезок, и на концах отрезка. 4. Сравнить полученные значения и выбрать наименьшее. Шаг 1: Находим производную функции. Функция задана как \(y = e^{2x} - 2e^x - 27\). Для удобства можно сделать замену \(t = e^x\). Тогда функция примет вид \(y = t^2 - 2t - 27\). Найдем производную функции \(y\) по \(x\). Используем правило дифференцирования сложной функции: \((e^{kx})' = k \cdot e^{kx}\). Производная от \(e^{2x}\) будет \(2e^{2x}\). Производная от \(-2e^x\) будет \(-2e^x\). Производная от \(-27\) будет \(0\). Таким образом, производная функции \(y'\) равна: \[y' = (e^{2x} - 2e^x - 27)' = 2e^{2x} - 2e^x\] Шаг 2: Приравниваем производную к нулю, чтобы найти критические точки. \[2e^{2x} - 2e^x = 0\] Вынесем общий множитель \(2e^x\) за скобки: \[2e^x(e^x - 1) = 0\] Так как \(e^x\) всегда больше нуля (\(e^x > 0\)), то \(2e^x\) тоже всегда больше нуля. Значит, для того чтобы произведение было равно нулю, необходимо, чтобы второй множитель был равен нулю: \[e^x - 1 = 0\] \[e^x = 1\] Мы знаем, что любое число в нулевой степени равно единице, то есть \(e^0 = 1\). Следовательно: \[x = 0\] Это наша критическая точка. Шаг 3: Вычисляем значения функции в критической точке и на концах отрезка. Заданный отрезок \([-1; 2]\). Критическая точка \(x = 0\) попадает в этот отрезок, так как \(-1 \le 0 \le 2\). Вычислим значение функции в критической точке \(x = 0\): \[y(0) = e^{2 \cdot 0} - 2e^0 - 27\] \[y(0) = e^0 - 2 \cdot 1 - 27\] \[y(0) = 1 - 2 - 27\] \[y(0) = -1 - 27\] \[y(0) = -28\] Вычислим значение функции на левом конце отрезка \(x = -1\): \[y(-1) = e^{2 \cdot (-1)} - 2e^{-1} - 27\] \[y(-1) = e^{-2} - 2e^{-1} - 27\] \[y(-1) = \frac{1}{e^2} - \frac{2}{e} - 27\] Приближенные значения: \(e \approx 2.718\), \(e^2 \approx 7.389\). \[y(-1) \approx \frac{1}{7.389} - \frac{2}{2.718} - 27\] \[y(-1) \approx 0.135 - 0.736 - 27\] \[y(-1) \approx -0.601 - 27\] \[y(-1) \approx -27.601\] Вычислим значение функции на правом конце отрезка \(x = 2\): \[y(2) = e^{2 \cdot 2} - 2e^2 - 27\] \[y(2) = e^4 - 2e^2 - 27\] Приближенные значения: \(e^2 \approx 7.389\), \(e^4 \approx 54.598\). \[y(2) \approx 54.598 - 2 \cdot 7.389 - 27\] \[y(2) \approx 54.598 - 14.778 - 27\] \[y(2) \approx 39.82 - 27\] \[y(2) \approx 12.82\] Шаг 4: Сравниваем полученные значения и выбираем наименьшее. Мы получили следующие значения функции: \(y(0) = -28\) \(y(-1) \approx -27.601\) \(y(2) \approx 12.82\) Сравнивая эти значения, видим, что наименьшее значение функции равно \(-28\). Ответ: Наименьшее значение функции \(y = e^{2x} - 2e^x - 27\) на отрезке \([-1; 2]\) равно \(-28\).