Решение задачи: Найти наименьшее значение y=e^(2x)-2e^x-27 на [-1;2]

Хорошо, давайте разберем решение задачи еще более подробно и понятно, шаг за шагом, как если бы мы решали её в классе. Задача: Найдите наименьшее значение функции \(y = e^{2x} - 2e^x - 27\) на отрезке \([-1; 2]\). Что это значит? Нам дана какая-то функция, которая зависит от \(x\). Мы хотим узнать, какое самое маленькое значение может принять эта функция, если \(x\) может быть любым числом от \(-1\) до \(2\) (включая \(-1\) и \(2\)). Как мы будем это делать? Есть стандартный алгоритм для таких задач: 1. **Найти "подозрительные" точки.** Это точки, где функция может изменить свое поведение (например, начать убывать после возрастания или наоборот). Такие точки называются критическими. Мы их находим с помощью производной. 2. **Проверить эти "подозрительные" точки.** Если они попадают в наш отрезок, то мы их учитываем. 3. **Проверить "края" отрезка.** Функция может быть самой маленькой не только в "подозрительных" точках, но и на самых границах заданного отрезка. 4. **Сравнить все найденные значения.** Из всех полученных значений функции выбираем самое маленькое. Давайте приступим! Шаг 1: Находим производную функции. Наша функция: \(y = e^{2x} - 2e^x - 27\). Производная показывает, как быстро меняется функция. Если производная равна нулю, это значит, что в этой точке функция перестает расти или убывать – это может быть "вершина" или "дно" графика. Как найти производную? * Производная от \(e^{kx}\) равна \(k \cdot e^{kx}\). * Для \(e^{2x}\): здесь \(k=2\), значит, производная будет \(2 \cdot e^{2x}\). * Для \(-2e^x\): здесь \(k=1\) (потому что \(e^x = e^{1x}\)), а множитель \(-2\) остается. Значит, производная будет \(-2 \cdot 1 \cdot e^x = -2e^x\). * Производная от числа (константы) всегда равна нулю. * Для \(-27\): производная будет \(0\). Собираем всё вместе: \[y' = (e^{2x})' - (2e^x)' - (27)'\] \[y' = 2e^{2x} - 2e^x - 0\] \[y' = 2e^{2x} - 2e^x\] Вот мы и нашли производную! Шаг 2: Находим критические точки. Для этого приравниваем производную к нулю: \[2e^{2x} - 2e^x = 0\] Теперь нужно решить это уравнение относительно \(x\). Видим, что \(2e^x\) есть в обоих слагаемых. Вынесем его за скобки: \[2e^x(e^x - 1) = 0\] У нас получилось произведение двух множителей, которое равно нулю. Это значит, что хотя бы один из множителей должен быть равен нулю. * Первый множитель: \(2e^x\). Мы знаем, что число \(e\) (примерно \(2.718\)) в любой степени всегда положительно. То есть \(e^x > 0\). Значит, \(2e^x\) тоже всегда больше нуля и никогда не может быть равно нулю. * Второй множитель: \(e^x - 1\). Значит, именно этот множитель должен быть равен нулю: \[e^x - 1 = 0\] \[e^x = 1\] Какое число нужно поставить вместо \(x\), чтобы \(e\) в этой степени дало \(1\)? Любое число в нулевой степени равно \(1\). То есть \(e^0 = 1\). Значит, \(x = 0\). Это наша единственная критическая точка. Шаг 3: Проверяем критическую точку и концы отрезка. Наш отрезок: \([-1; 2]\). Критическая точка: \(x = 0\). Попадает ли \(x = 0\) в отрезок \([-1; 2]\)? Да, попадает, потому что \(0\) находится между \(-1\) и \(2\). Теперь нам нужно вычислить значение нашей *исходной* функции \(y = e^{2x} - 2e^x - 27\) в трех точках: 1. В критической точке: \(x = 0\). 2. На левом конце отрезка: \(x = -1\). 3. На правом конце отрезка: \(x = 2\). Вычисляем \(y(0)\): Подставляем \(x=0\) в функцию: \[y(0) = e^{2 \cdot 0} - 2e^0 - 27\] \[y(0) = e^0 - 2 \cdot e^0 - 27\] Помним, что \(e^0 = 1\): \[y(0) = 1 - 2 \cdot 1 - 27\] \[y(0) = 1 - 2 - 27\] \[y(0) = -1 - 27\] \[y(0) = -28\] Вычисляем \(y(-1)\): Подставляем \(x=-1\) в функцию: \[y(-1) = e^{2 \cdot (-1)} - 2e^{-1} - 27\] \[y(-1) = e^{-2} - 2e^{-1} - 27\] Что такое \(e^{-2}\) и \(e^{-1}\)? Это \(\frac{1}{e^2}\) и \(\frac{1}{e}\). \[y(-1) = \frac{1}{e^2} - \frac{2}{e} - 27\] Чтобы сравнить это с другими числами, можно использовать приближенные значения: \(e \approx 2.718\), \(e^2 \approx 7.389\). \[y(-1) \approx \frac{1}{7.389} - \frac{2}{2.718} - 27\] \[y(-1) \approx 0.135 - 0.736 - 27\] \[y(-1) \approx -0.601 - 27\] \[y(-1) \approx -27.601\] Вычисляем \(y(2)\): Подставляем \(x=2\) в функцию: \[y(2) = e^{2 \cdot 2} - 2e^2 - 27\] \[y(2) = e^4 - 2e^2 - 27\] Используем приближенные значения: \(e^2 \approx 7.389\), \(e^4 \approx 54.598\). \[y(2) \approx 54.598 - 2 \cdot 7.389 - 27\] \[y(2) \approx 54.598 - 14.778 - 27\] \[y(2) \approx 39.82 - 27\] \[y(2) \approx 12.82\] Шаг 4: Сравниваем все полученные значения. У нас есть три значения функции: * \(y(0) = -28\) * \(y(-1) \approx -27.601\) * \(y(2) \approx 12.82\) Какое из этих чисел самое маленькое? Сравниваем: \(-28\), \(-27.601\), \(12.82\). Самое маленькое число — это \(-28\). Значит, наименьшее значение функции на заданном отрезке равно \(-28\). Окончательный ответ: Наименьшее значение функции \(y = e^{2x} - 2e^x - 27\) на отрезке \([-1; 2]\) равно \(-28\).