Решение задачи: площадь равнобедренного треугольника АВС

Решение: 1. Обозначим стороны треугольника. * Основание \(AC = 14\) см. * Так как треугольник равнобедренный, боковые стороны равны: \(AB = BC\). 2. Найдем длины боковых сторон. * Периметр треугольника равен сумме длин всех его сторон: \(P = AB + BC + AC\). * Нам дано, что периметр \(P = 64\) см. * Подставим известные значения: \(64 = AB + BC + 14\). * Так как \(AB = BC\), можно записать: \(64 = 2 \cdot AB + 14\). * Вычтем 14 из обеих частей уравнения: \(64 - 14 = 2 \cdot AB\). * Получим: \(50 = 2 \cdot AB\). * Разделим на 2: \(AB = \frac{50}{2} = 25\) см. * Значит, боковые стороны \(AB = BC = 25\) см. 3. Найдем высоту треугольника. * Для нахождения площади треугольника нам нужна высота. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой. * Проведем высоту \(BH\) к основанию \(AC\). * Точка \(H\) делит основание \(AC\) пополам. * Значит, \(AH = HC = \frac{AC}{2} = \frac{14}{2} = 7\) см. * Рассмотрим прямоугольный треугольник \(ABH\). * В нем \(AB\) - гипотенуза, \(AH\) и \(BH\) - катеты. * По теореме Пифагора: \(AB^2 = AH^2 + BH^2\). * Подставим известные значения: \(25^2 = 7^2 + BH^2\). * Вычислим квадраты: \(625 = 49 + BH^2\). * Вычтем 49 из обеих частей уравнения: \(BH^2 = 625 - 49\). * Получим: \(BH^2 = 576\). * Извлечем квадратный корень: \(BH = \sqrt{576} = 24\) см. * Высота треугольника \(BH = 24\) см. 4. Найдем площадь треугольника. * Площадь треугольника вычисляется по формуле: \(S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}\). * В нашем случае: \(S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH\). * Подставим значения: \(S = \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot 24\). * Вычислим: \(S = 7 \cdot 24\). * \(S = 168\) см\(^2\). Ответ: Площадь равнобедренного треугольника АВС равна 168 см\(^2\).