Решение: Реши задачу: Найдите подгруппы циклической гр

На основании представленного изображения, нам дана циклическая группа \( \langle a \rangle \) порядка 12, которая состоит из элементов: \[ \langle a \rangle = \{ a^0, a^1, a^2, a^3, \dots, a^{11} \} \] Требуется найти подгруппу, порожденную элементом \( a^4 \). Решение: 1. По определению циклической подгруппы, подгруппа \( \langle a^4 \rangle \) состоит из всех возможных степеней элемента \( a^4 \). Будем последовательно возводить \( a^4 \) в степени, учитывая, что порядок всей группы равен 12 (то есть \( a^{12} = a^0 = e \), где \( e \) — нейтральный элемент). 2. Вычислим элементы подгруппы: \[ (a^4)^1 = a^4 \] \[ (a^4)^2 = a^8 \] \[ (a^4)^3 = a^{12} = a^0 \] При дальнейшем возведении в степень элементы начнут повторяться: \( (a^4)^4 = a^{16} = a^{12} \cdot a^4 = a^4 \) и так далее. 3. Таким образом, искомая подгруппа состоит из трех элементов: \[ \langle a^4 \rangle = \{ a^0, a^4, a^8 \} \] 4. Порядок данной подгруппы можно также найти по формуле порядка элемента в циклической группе: \[ |a^k| = \frac{n}{gcd(k, n)} \] где \( n = 12 \) (порядок группы), \( k = 4 \) (показатель степени элемента). \[ |a^4| = \frac{12}{gcd(4, 12)} = \frac{12}{4} = 3 \] Это подтверждает, что в подгруппе должно быть ровно 3 элемента. Ответ: \( \langle a^4 \rangle = \{ a^0, a^4, a^8 \} \).