Решение задачи: (ex+1)eyy′+ex(ey+1)=0, y(0)=0, найти y(1)

Дано дифференциальное уравнение: \[ (e^x + 1) e^y y' + e^x (e^y + 1) = 0 \] с начальным условием \( y(0) = 0 \). Решение: 1. Разделим переменные. Перенесем второе слагаемое в правую часть: \[ (e^x + 1) e^y \frac{dy}{dx} = -e^x (e^y + 1) \] Разделим обе части на \( (e^x + 1)(e^y + 1) \): \[ \frac{e^y}{e^y + 1} dy = -\frac{e^x}{e^x + 1} dx \] 2. Интегрируем обе части уравнения: \[ \int \frac{e^y}{e^y + 1} dy = - \int \frac{e^x}{e^x + 1} dx \] Заметим, что числители являются производными знаменателей (\( d(e^y + 1) = e^y dy \)). Получаем: \[ \ln(e^y + 1) = -\ln(e^x + 1) + \ln C \] \[ \ln(e^y + 1) = \ln \frac{C}{e^x + 1} \] 3. Потенцируем выражение: \[ e^y + 1 = \frac{C}{e^x + 1} \] 4. Найдем константу \( C \), используя начальное условие \( y(0) = 0 \): \[ e^0 + 1 = \frac{C}{e^0 + 1} \] \[ 1 + 1 = \frac{C}{1 + 1} \] \[ 2 = \frac{C}{2} \Rightarrow C = 4 \] 5. Запишем частное решение: \[ e^y + 1 = \frac{4}{e^x + 1} \] \[ e^y = \frac{4}{e^x + 1} - 1 \] \[ e^y = \frac{4 - (e^x + 1)}{e^x + 1} = \frac{3 - e^x}{e^x + 1} \] \[ y = \ln \left( \frac{3 - e^x}{e^x + 1} \right) \] 6. Вычислим значение \( y(1) \): Подставим \( x = 1 \) (учитывая, что \( e \approx 2.718 \)): \[ y(1) = \ln \left( \frac{3 - e^1}{e^1 + 1} \right) \] \[ y(1) = \ln \left( \frac{3 - 2.71828}{2.71828 + 1} \right) \] \[ y(1) = \ln \left( \frac{0.28172}{3.71828} \right) \] \[ y(1) \approx \ln(0.075766) \] \[ y(1) \approx -2.5801 \] Округляя до сотых, получаем -2.58. Ответ: -2.58