Решение дифференциального уравнения (ex+1)eyy′+ex(ey+1)=0, y(0)=0

Дано линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами: \[ y'' - 3y' + 2y = 0 \] с начальными условиями \( y(0) = 1, y'(0) = 0 \). Решение: 1. Составим характеристическое уравнение: \[ k^2 - 3k + 2 = 0 \] Найдем корни квадратного уравнения через дискриминант: \[ D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1 \] \[ k_1 = \frac{3 + 1}{2} = 2 \] \[ k_2 = \frac{3 - 1}{2} = 1 \] 2. Запишем общее решение уравнения: \[ y(x) = C_1 e^{2x} + C_2 e^x \] 3. Найдем производную общего решения: \[ y'(x) = 2C_1 e^{2x} + C_2 e^x \] 4. Используем начальные условия для нахождения констант \( C_1 \) и \( C_2 \): При \( x = 0 \): \[ y(0) = C_1 e^0 + C_2 e^0 = C_1 + C_2 = 1 \] \[ y'(0) = 2C_1 e^0 + C_2 e^0 = 2C_1 + C_2 = 0 \] Получаем систему уравнений: \[ \begin{cases} C_1 + C_2 = 1 \\ 2C_1 + C_2 = 0 \end{cases} \] Вычтем из второго уравнения первое: \[ (2C_1 + C_2) - (C_1 + C_2) = 0 - 1 \] \[ C_1 = -1 \] Найдем \( C_2 \): \[ -1 + C_2 = 1 \Rightarrow C_2 = 2 \] 5. Запишем частное решение: \[ y(x) = -e^{2x} + 2e^x \] 6. Вычислим значение \( y(2) \): Подставим \( x = 2 \) (используя значение \( e \approx 2.71828 \)): \[ y(2) = -e^{2 \cdot 2} + 2e^2 = -e^4 + 2e^2 \] \[ y(2) = -(2.71828)^4 + 2 \cdot (2.71828)^2 \] \[ y(2) \approx -54.598 + 2 \cdot 7.389 \] \[ y(2) \approx -54.598 + 14.778 \] \[ y(2) \approx -39.82 \] Ответ: -39.82