Хорошо, давайте решим эту задачу по шагам.
Задание 57
1. Находим генеральную совокупность.
Генеральная совокупность - это все данные, которые представлены в таблице.
Давайте выпишем все числа из таблицы:
5.00, 6.30, 6.76, 7.22, 7.64, 7.77, 8.15, 7.92, 8.10, 8.60
8.60, 8.59, 8.68, 8.93, 8.86, 9.02, 8.76, 8.87, 8.92, 9.09
9.44, 9.41, 9.51, 9.22, 9.47, 9.49, 9.91, 9.63, 9.84, 9.70
9.94, 10.09, 9.79, 9.85, 10.03, 10.28, 10.07, 10.55, 10.58, 10.44
10.58, 10.45, 10.46, 10.82, 10.82, 10.67, 10.80, 10.62, 11.07, 10.86
10.91, 11.31, 10.80, 10.94, 11.30, 11.28, 11.10, 11.28, 11.25, 11.43
11.68, 11.41, 11.68, 11.38, 11.59, 11.60, 12.05, 11.70, 12.12, 12.03
11.95, 12.11, 12.31, 12.06, 12.34, 12.48, 12.37, 12.38, 12.70, 12.62
12.99, 12.90, 13.05, 12.64, 12.91, 13.34, 13.36, 13.27, 13.60, 13.50
14.02, 13.96, 13.76, 14.50, 14.31, 14.89, 14.64, 15.20, 15.87, 17.00
2. Находим \(x_{max}\) и \(x_{min}\).
\(x_{max}\) - это самое большое число в генеральной совокупности.
\(x_{min}\) - это самое маленькое число в генеральной совокупности.
Просматривая все числа, находим:
\(x_{max} = 17.00\)
\(x_{min} = 5.00\)
3. Находим \(h\) (ширину интервала).
Для определения ширины интервала \(h\) нам нужно сначала определить количество интервалов \(k\). Часто для этого используют формулу Стерджесса:
\[k = 1 + 3.322 \cdot \log_{10}(N)\]
где \(N\) - общее количество данных.
В нашей таблице 10 строк и 10 столбцов, значит \(N = 10 \cdot 10 = 100\).
Подставляем \(N = 100\) в формулу:
\[k = 1 + 3.322 \cdot \log_{10}(100)\]
\[k = 1 + 3.322 \cdot 2\]
\[k = 1 + 6.644\]
\[k = 7.644\]
Округляем \(k\) до ближайшего целого числа, обычно в большую сторону, чтобы охватить все данные. Пусть \(k = 8\).
Теперь найдем ширину интервала \(h\):
\[h = \frac{x_{max} - x_{min}}{k}\]
\[h = \frac{17.00 - 5.00}{8}\]
\[h = \frac{12.00}{8}\]
\[h = 1.5\]
Итак, ширина интервала \(h = 1.5\).
4. Начертить таблицу (частотный ряд).
Теперь мы создадим интервалы и посчитаем, сколько данных попадает в каждый интервал.
Начнем с \(x_{min} = 5.00\).
Интервалы будут иметь вид \([a; b)\), где \(a\) включается в интервал, а \(b\) - нет, кроме последнего интервала, который будет \([a; b]\).
Интервалы:
1. \([5.00; 5.00 + 1.5) = [5.00; 6.50)\)
2. \([6.50; 6.50 + 1.5) = [6.50; 8.00)\)
3. \([8.00; 8.00 + 1.5) = [8.00; 9.50)\)
4. \([9.50; 9.50 + 1.5) = [9.50; 11.00)\)
5. \([11.00; 11.00 + 1.5) = [11.00; 12.50)\)
6. \([12.50; 12.50 + 1.5) = [12.50; 14.00)\)
7. \([14.00; 14.00 + 1.5) = [14.00; 15.50)\)
8. \([15.50; 15.50 + 1.5] = [15.50; 17.00]\) (последний интервал включает верхнюю границу)
Теперь посчитаем частоту (количество данных) для каждого интервала.
| Интервал |
Частота (количество данных) |
| [5.00; 6.50) |
2 (5.00, 6.30) |
| [6.50; 8.00) |
6 (6.76, 7.22, 7.64, 7.77, 7.92, 7.92) |
| [8.00; 9.50) |
22 (8.15, 8.10, 8.60, 8.60, 8.59, 8.68, 8.93, 8.86, 9.02, 8.76, 8.87, 8.92, 9.09, 9.44, 9.41, 9.22, 9.47, 9.49, 9.22, 9.47, 9.49, 9.22) |
| [9.50; 11.00) |
30 (9.51, 9.91, 9.63, 9.84, 9.70, 9.94, 10.09, 9.79, 9.85, 10.03, 10.28, 10.07, 10.55, 10.58, 10.44, 10.58, 10.45, 10.46, 10.82, 10.82, 10.67, 10.80, 10.62, 10.86, 10.91, 10.80, 10.94) |
| [11.00; 12.50) |
26 (11.31, 11.30, 11.28, 11.10, 11.28, 11.25, 11.43, 11.68, 11.41, 11.68, 11.38, 11.59, 11.60, 12.05, 11.70, 12.12, 12.03, 11.95, 12.11, 12.31, 12.06, 12.34, 12.48, 12.37, 12.38) |
| [12.50; 14.00) |
11 (12.70, 12.62, 12.99, 12.90, 13.05, 12.64, 12.91, 13.34, 13.36, 13.27, 13.50, 13.96, 13.76) |
| [14.00; 15.50) |
2 (14.02, 14.50, 14.31, 14.89, 14.64, 15.20) |
| [15.50; 17.00] |
1 (15.87, 17.00) |
Пересчитаем внимательнее, чтобы не ошибиться.
| Интервал |
Данные, попадающие в интервал |
Частота |
| [5.00; 6.50) |
5.00, 6.30 |
2 |
| [6.50; 8.00) |
6.76, 7.22, 7.64, 7.77, 7.92 |
5 |
| [8.00; 9.50) |
8.15, 8.10, 8.60, 8.60, 8.59, 8.68, 8.93, 8.86, 9.02, 8.76, 8.87, 8.92, 9.09, 9.44, 9.41, 9.22, 9.47, 9.49 |
18 |
| [9.50; 11.00) |
9.51, 9.91, 9.63, 9.84, 9.70, 9.94, 10.09, 9.79, 9.85, 10.03, 10.28, 10.07, 10.55, 10.58, 10.44, 10.58, 10.45, 10.46, 10.82, 10.82, 10.67, 10.80, 10.62, 11.07 (нет, 11.07 не входит), 10.86, 10.91, 10.80, 10.94 |
27 |
| [11.00; 12.50) |
11.31, 11.30, 11.28, 11.10, 11.28, 11.25, 11.43, 11.68, 11.41, 11.68, 11.38, 11.59, 11.60, 12.05, 11.70, 12.12, 12.03, 11.95, 12.11, 12.31, 12.06, 12.34, 12.48, 12.37, 12.38, 11.07 |
26 |
| [12.50; 14.00) |
12.70, 12.62, 12.99, 12.90, 13.05, 12.64, 12.91, 13.34, 13.36, 13.27, 13.60, 13.50, 13.96, 13.76 |
14 |
| [14.00; 15.50) |
14.02, 14.50, 14.31, 14.89, 14.64, 15.20 |
6 |
| [15.50; 17.00] |
15.87, 17.00 |
2 |
Проверим сумму частот: \(2 + 5 + 18 + 27 + 26 + 14 + 6 + 2 = 100\). Все верно.
5. Построить диаграмму (гистограмму).
Для построения гистограммы по оси X откладываются интервалы, а по оси Y - частота.
Каждый столбец гистограммы будет соответствовать интервалу, а его высота - частоте этого интервала.
(Здесь я не могу нарисовать диаграмму, но могу описать, как она будет выглядеть)
* Нарисуйте горизонтальную ось (ось X) и вертикальную ось (ось Y).
* На оси X отметьте границы интервалов: 5.00, 6.50, 8.00, 9.50, 11.00, 12.50, 14.00, 15.50, 17.00.
* На оси Y отметьте значения частот, например, с шагом 5: 0, 5, 10, 15, 20, 25, 30.
* Над каждым интервалом постройте прямоугольник (столбец) такой высоты, которая соответствует его частоте:
* Над интервалом \([5.00; 6.50)\) столбец высотой 2.
* Над интервалом \([6.50; 8.00)\) столбец высотой 5.
* Над интервалом \([8.00; 9.50)\) столбец высотой 18.
* Над интервалом \([9.50; 11.00)\) столбец высотой 27.
* Над интервалом \([11.00; 12.50)\) столбец высотой 26.
* Над интервалом \([12.50; 14.00)\) столбец высотой 14.
* Над интервалом \([14.00; 15.50)\) столбец высотой 6.
* Над интервалом \([15.50; 17.00]\) столбец высотой 2.
Столбцы должны примыкать друг к другу, так как это гистограмма непрерывных данных.
Вот и все шаги для решения задачи.
