Решение тригонометрического уравнения: sin x = √2 sin(75° - x)

Решение тригонометрического уравнения: \[ \sin x = \sqrt{2} \sin(75^\circ - x) \] 1. Используем формулу синуса разности \( \sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta \): \[ \sin x = \sqrt{2} (\sin 75^\circ \cos x - \cos 75^\circ \sin x) \] 2. Вычислим значения \( \sin 75^\circ \) и \( \cos 75^\circ \). Заметим, что \( 75^\circ = 45^\circ + 30^\circ \): \[ \sin 75^\circ = \sin(45^\circ + 30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \] \[ \cos 75^\circ = \cos(45^\circ + 30^\circ) = \cos 45^\circ \cos 30^\circ - \sin 45^\circ \sin 30^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \] 3. Подставим эти значения в уравнение: \[ \sin x = \sqrt{2} \left( \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \cos x - \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \sin x \right) \] \[ \sin x = \frac{\sqrt{12} + 2}{4} \cos x - \frac{\sqrt{12} - 2}{4} \sin x \] Так как \( \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \): \[ \sin x = \frac{2\sqrt{3} + 2}{4} \cos x - \frac{2\sqrt{3} - 2}{4} \sin x \] \[ \sin x = \frac{\sqrt{3} + 1}{2} \cos x - \frac{\sqrt{3} - 1}{2} \sin x \] 4. Перенесем слагаемые с \( \sin x \) в левую часть: \[ \sin x + \frac{\sqrt{3} - 1}{2} \sin x = \frac{\sqrt{3} + 1}{2} \cos x \] \[ \sin x \left( 1 + \frac{\sqrt{3} - 1}{2} \right) = \frac{\sqrt{3} + 1}{2} \cos x \] \[ \sin x \left( \frac{2 + \sqrt{3} - 1}{2} \right) = \frac{\sqrt{3} + 1}{2} \cos x \] \[ \sin x \left( \frac{\sqrt{3} + 1}{2} \right) = \frac{\sqrt{3} + 1}{2} \cos x \] 5. Разделим обе части на \( \frac{\sqrt{3} + 1}{2} \cos x \) (при условии, что \( \cos x \neq 0 \)): \[ \frac{\sin x}{\cos x} = 1 \] \[ \text{tg } x = 1 \] 6. Находим общее решение: \[ x = 45^\circ + 180^\circ k, \text{ где } k \in \mathbb{Z} \] Или в радианах: \[ x = \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z} \] Ответ: \( x = 45^\circ + 180^\circ k, k \in \mathbb{Z} \)