Решение задачи: Площадь трапеции ABCD

Задача №18 Дано: \(ABCD\) — трапеция (\(BC \parallel AD\)). \(M\) — середина \(BC\) (\(BM = MC\)). \(AD : BC = 2 : 1\). \(S_{\triangle AMD} = 120\). Найти: \(S_{ABCD}\). Решение: 1. Пусть высота трапеции равна \(h\). Эта высота также является высотой треугольника \(AMD\), проведенной к основанию \(AD\). 2. Площадь треугольника \(AMD\) вычисляется по формуле: \[S_{\triangle AMD} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot h = 120\] Отсюда получаем: \[AD \cdot h = 240\] 3. Из условия \(AD : BC = 2 : 1\) следует, что \(AD = 2 \cdot BC\), или \(BC = \frac{1}{2} AD\). 4. Площадь трапеции \(ABCD\) вычисляется по формуле: \[S_{ABCD} = \frac{BC + AD}{2} \cdot h\] 5. Подставим выражение для \(BC\) через \(AD\): \[S_{ABCD} = \frac{\frac{1}{2} AD + AD}{2} \cdot h = \frac{\frac{3}{2} AD}{2} \cdot h = \frac{3}{4} \cdot AD \cdot h\] 6. Так как мы уже нашли, что \(AD \cdot h = 240\), подставим это значение: \[S_{ABCD} = \frac{3}{4} \cdot 240 = 3 \cdot 60 = 180\] Ответ: 180.