Решение задачи: площадь трапеции АВСД (8 класс)

Решение задачи для 8 класса: Дано: \(ABCD\) — трапеция (\(BC \parallel AD\)). \(M \in BC\), \(BM = MC\). \(AD : BC = 2 : 1\). \(S_{\triangle AMD} = 120\). Найти: \(S_{ABCD}\). Решение: 1. Проведем высоту трапеции \(h\). Заметим, что высота треугольника \(AMD\), опущенная из вершины \(M\) на основание \(AD\), также равна \(h\), так как \(M\) лежит на прямой \(BC\), параллельной \(AD\). 2. Выразим площадь треугольника \(AMD\): \[S_{\triangle AMD} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot h = 120\] Отсюда произведение основания на высоту равно: \[AD \cdot h = 240\] 3. По условию \(AD : BC = 2 : 1\), значит \(BC = \frac{1}{2} AD\). 4. Запишем формулу площади трапеции: \[S_{ABCD} = \frac{AD + BC}{2} \cdot h\] 5. Подставим в формулу \(BC = \frac{1}{2} AD\): \[S_{ABCD} = \frac{AD + 0,5 AD}{2} \cdot h = \frac{1,5 AD}{2} \cdot h = 0,75 \cdot AD \cdot h\] 6. Подставим известное значение \(AD \cdot h = 240\): \[S_{ABCD} = 0,75 \cdot 240 = 180\] Ответ: 180.