Решение задачи: Найти производную функции y = x^(1/3) + 4x^3 - 6x в точке x=1

Задание: Найти значение производной функции в заданной точке \( x_0 \). Дано: \[ y = \sqrt[3]{x} + 4x^3 - 6x \] \[ x_0 = 1 \] Решение: 1. Перепишем функцию, представив корень в виде степени для удобства дифференцирования: \[ y = x^{\frac{1}{3}} + 4x^3 - 6x \] 2. Найдем производную функции \( y' \), используя правила дифференцирования: \[ y' = (x^{\frac{1}{3}})' + (4x^3)' - (6x)' \] \[ y' = \frac{1}{3}x^{\frac{1}{3}-1} + 4 \cdot 3x^{3-1} - 6 \] \[ y' = \frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}} + 12x^2 - 6 \] 3. Преобразуем выражение к более удобному виду: \[ y' = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}} + 12x^2 - 6 \] 4. Вычислим значение производной в точке \( x_0 = 1 \): \[ y'(1) = \frac{1}{3\sqrt[3]{1^2}} + 12 \cdot 1^2 - 6 \] \[ y'(1) = \frac{1}{3 \cdot 1} + 12 - 6 \] \[ y'(1) = \frac{1}{3} + 6 \] \[ y'(1) = 6\frac{1}{3} \] Ответ: \( y'(1) = 6\frac{1}{3} \) (или \( \approx 6,33 \)).