Решение задачи: Найти наибольшее и наименьшее значения функции

Задание: Найти наибольшее и наименьшее значения функции \( y = 3x^4 + 6x^2 - 1 \) на отрезке \( [-2; 2] \). Решение: 1. Найдем производную функции: \[ y' = (3x^4 + 6x^2 - 1)' = 12x^3 + 12x \] 2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: \[ 12x^3 + 12x = 0 \] Вынесем общий множитель за скобки: \[ 12x(x^2 + 1) = 0 \] Так как выражение \( x^2 + 1 \) всегда больше нуля для любых действительных \( x \), то единственным корнем уравнения является: \[ x = 0 \] Точка \( x = 0 \) принадлежит заданному отрезку \( [-2; 2] \). 3. Вычислим значения функции в критической точке и на концах отрезка: При \( x = 0 \): \[ y(0) = 3 \cdot 0^4 + 6 \cdot 0^2 - 1 = -1 \] При \( x = -2 \): \[ y(-2) = 3 \cdot (-2)^4 + 6 \cdot (-2)^2 - 1 = 3 \cdot 16 + 6 \cdot 4 - 1 = 48 + 24 - 1 = 71 \] При \( x = 2 \): \[ y(2) = 3 \cdot 2^4 + 6 \cdot 2^2 - 1 = 3 \cdot 16 + 6 \cdot 4 - 1 = 48 + 24 - 1 = 71 \] 4. Сравним полученные результаты: Наименьшее значение функции: \( -1 \) Наибольшее значение функции: \( 71 \) Ответ: \( \max_{[-2; 2]} y = 71 \); \( \min_{[-2; 2]} y = -1 \).