Нахождение производной функции y = (x^2 + 4x - 4) / (2x - 8)

Задание: Исследовать функцию и найти её производную. Дана функция: \[ y = \frac{x^2 + 4x - 4}{2x - 8} \] 1. Область определения функции: Знаменатель не может быть равен нулю. \[ 2x - 8 \neq 0 \] \[ 2x \neq 8 \] \[ x \neq 4 \] Область определения: \( D(y): x \in (-\infty; 4) \cup (4; +\infty) \). 2. Нахождение производной функции: Для решения используем формулу производной частного \( (\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \). Пусть \( u = x^2 + 4x - 4 \), тогда \( u' = 2x + 4 \). Пусть \( v = 2x - 8 \), тогда \( v' = 2 \). Подставим в формулу: \[ y' = \frac{(2x + 4)(2x - 8) - (x^2 + 4x - 4) \cdot 2}{(2x - 8)^2} \] Раскроем скобки в числителе: \[ y' = \frac{(4x^2 - 16x + 8x - 32) - (2x^2 + 8x - 8)}{(2x - 8)^2} \] \[ y' = \frac{4x^2 - 8x - 32 - 2x^2 - 8x + 8}{(2x - 8)^2} \] Приведем подобные слагаемые: \[ y' = \frac{2x^2 - 16x - 24}{(2x - 8)^2} \] Можно упростить, вынеся общий множитель в числителе и знаменателе: \[ y' = \frac{2(x^2 - 8x - 12)}{(2(x - 4))^2} \] \[ y' = \frac{2(x^2 - 8x - 12)}{4(x - 4)^2} \] \[ y' = \frac{x^2 - 8x - 12}{2(x - 4)^2} \] Ответ: \( y' = \frac{x^2 - 8x - 12}{2(x - 4)^2} \) при \( x \neq 4 \).