Решение: Частные производные функции z = arcctg(y/x)

Для функции двух переменных \( z = \text{arcctg} \frac{y}{x} \) обычно требуется найти частные производные первого порядка по \( x \) и по \( y \). Приведем подробное решение. 1. Найдем частную производную по \( x \). При дифференцировании по \( x \) переменная \( y \) считается константой. Используем формулу производной арккотангенса \( (\text{arcctg } u)' = -\frac{1}{1+u^2} \cdot u' \): \[ \frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{1}{1 + \left( \frac{y}{x} \right)^2} \cdot \left( \frac{y}{x} \right)'_x \] Вычислим производную внутренней функции по \( x \): \[ \left( \frac{y}{x} \right)'_x = y \cdot \left( x^{-1} \right)' = y \cdot (-1) \cdot x^{-2} = -\frac{y}{x^2} \] Подставим это в основное выражение: \[ \frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{1}{1 + \frac{y^2}{x^2}} \cdot \left( -\frac{y}{x^2} \right) = \frac{1}{\frac{x^2 + y^2}{x^2}} \cdot \frac{y}{x^2} = \frac{x^2}{x^2 + y^2} \cdot \frac{y}{x^2} = \frac{y}{x^2 + y^2} \] 2. Найдем частную производную по \( y \). При дифференцировании по \( y \) переменная \( x \) считается константой: \[ \frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{1}{1 + \left( \frac{y}{x} \right)^2} \cdot \left( \frac{y}{x} \right)'_y \] Вычислим производную внутренней функции по \( y \): \[ \left( \frac{y}{x} \right)'_y = \frac{1}{x} \cdot (y)' = \frac{1}{x} \] Подставим в выражение: \[ \frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{1}{1 + \frac{y^2}{x^2}} \cdot \frac{1}{x} = -\frac{x^2}{x^2 + y^2} \cdot \frac{1}{x} = -\frac{x}{x^2 + y^2} \] Ответ: Частные производные функции равны: \[ z'_x = \frac{y}{x^2 + y^2} \] \[ z'_y = -\frac{x}{x^2 + y^2} \]