Решение: Экстремумы функции y = x³ + 3x² - 24x - 80

Задание: Исследовать функцию на экстремумы и промежутки монотонности. Дано: \[ y = x^3 + 3x^2 - 24x - 80 \] Решение: 1. Найдем производную функции: \[ y' = (x^3)' + (3x^2)' - (24x)' - (80)' \] \[ y' = 3x^2 + 6x - 24 \] 2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: \[ 3x^2 + 6x - 24 = 0 \] Разделим все уравнение на 3 для упрощения: \[ x^2 + 2x - 8 = 0 \] Решим квадратное уравнение через дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36 \] \[ \sqrt{D} = 6 \] \[ x_1 = \frac{-2 + 6}{2} = \frac{4}{2} = 2 \] \[ x_2 = \frac{-2 - 6}{2} = \frac{-8}{2} = -4 \] 3. Определим знаки производной на интервалах: Расставим точки на числовой прямой и проверим знаки \( y' \) в каждом промежутке: - На интервале \( (-\infty; -4) \): возьмем \( x = -5 \), \( y'(-5) = 3(-5)^2 + 6(-5) - 24 = 75 - 30 - 24 = 21 > 0 \) (функция возрастает). - На интервале \( (-4; 2) \): возьмем \( x = 0 \), \( y'(0) = -24 < 0 \) (функция убывает). - На интервале \( (2; +\infty) \): возьмем \( x = 3 \), \( y'(3) = 3(3)^2 + 6(3) - 24 = 27 + 18 - 24 = 21 > 0 \) (функция возрастает). 4. Найдем значения функции в точках экстремума: Точка максимума \( x_{max} = -4 \): \[ y(-4) = (-4)^3 + 3(-4)^2 - 24(-4) - 80 = -64 + 48 + 96 - 80 = 0 \] Точка минимума \( x_{min} = 2 \): \[ y(2) = 2^3 + 3 \cdot 2^2 - 24 \cdot 2 - 80 = 8 + 12 - 48 - 80 = -108 \] Ответ: Функция возрастает на \( (-\infty; -4] \cup [2; +\infty) \), убывает на \( [-4; 2] \). Точки экстремума: \( (-4; 0) \) — максимум, \( (2; -108) \) — минимум.