Решение задачи: Найти производную функции y = (x^2 + 1) / (x^2 - 1)

Задание: Найти производную функции. Дана функция: \[ y = \frac{x^2 + 1}{x^2 - 1} \] 1. Область определения функции: Знаменатель не должен обращаться в нуль. \[ x^2 - 1 \neq 0 \] \[ x^2 \neq 1 \] \[ x \neq 1, \quad x \neq -1 \] Область определения: \( D(y): x \in (-\infty; -1) \cup (-1; 1) \cup (1; +\infty) \). 2. Нахождение производной: Используем правило дифференцирования частного: \( (\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \). Обозначим: \[ u = x^2 + 1 \implies u' = 2x \] \[ v = x^2 - 1 \implies v' = 2x \] Подставляем в формулу: \[ y' = \frac{(2x)(x^2 - 1) - (x^2 + 1)(2x)}{(x^2 - 1)^2} \] Раскроем скобки в числителе: \[ y' = \frac{2x^3 - 2x - (2x^3 + 2x)}{(x^2 - 1)^2} \] \[ y' = \frac{2x^3 - 2x - 2x^3 - 2x}{(x^2 - 1)^2} \] Приведем подобные слагаемые: \[ y' = \frac{-4x}{(x^2 - 1)^2} \] Ответ: \( y' = -\frac{4x}{(x^2 - 1)^2} \)