Решение задачи: уравнение плоскости через точку и вектор нормали

Задача 1. Дано: Точка \( N(-7; 3; 1) \). Вектор нормали \( \vec{n} = \vec{MK} \), где \( M(-3; -1; 2) \) и \( K(-5; 1; 3) \). Решение: 1. Найдем координаты вектора нормали \( \vec{n} \), который равен вектору \( \vec{MK} \). Для этого из координат конца (точки \( K \)) вычтем координаты начала (точки \( M \)): \[ \vec{n} = \vec{MK} = (-5 - (-3); 1 - (-1); 3 - 2) = (-2; 2; 1) \] Таким образом, коэффициенты уравнения плоскости: \( A = -2 \), \( B = 2 \), \( C = 1 \). 2. Уравнение плоскости, проходящей через точку \( N(x_0; y_0; z_0) \) с вектором нормали \( \vec{n}(A; B; C) \), имеет вид: \[ A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0 \] 3. Подставим координаты точки \( N(-7; 3; 1) \) и вектора \( \vec{n}(-2; 2; 1) \): \[ -2(x - (-7)) + 2(y - 3) + 1(z - 1) = 0 \] \[ -2(x + 7) + 2(y - 3) + 1(z - 1) = 0 \] 4. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые: \[ -2x - 14 + 2y - 6 + z - 1 = 0 \] \[ -2x + 2y + z - 21 = 0 \] Или, умножив на \(-1\): \[ 2x - 2y - z + 21 = 0 \] Ответ: \( 2x - 2y - z + 21 = 0 \). Задание 2. Дано: Прямоугольный параллелепипед \( ABCDA_1B_1C_1D_1 \). \( AB = 2 \), \( BC = 5 \), \( BB_1 = 6 \). Решение: 1. Введем прямоугольную систему координат. Пусть вершина \( B \) совпадает с началом координат \( (0; 0; 0) \). Ось \( Ox \) направим вдоль ребра \( BA \), ось \( Oy \) — вдоль \( BC \), ось \( Oz \) — вдоль \( BB_1 \). 2. Определим координаты нужных вершин: \( B(0; 0; 0) \) \( A(2; 0; 0) \) \( C(0; 5; 0) \) \( D(2; 5; 0) \) \( B_1(0; 0; 6) \) \( A_1(2; 0; 6) \) \( C_1(0; 5; 6) \) \( D_1(2; 5; 6) \) 3. Найдем координаты направляющих векторов прямых \( A_1C \) и \( DC_1 \): Вектор \( \vec{a} = \vec{A_1C} = (0 - 2; 5 - 0; 0 - 6) = (-2; 5; -6) \) Вектор \( \vec{b} = \vec{DC_1} = (0 - 2; 5 - 5; 6 - 0) = (-2; 0; 6) \) 4. Косинус угла \( \alpha \) между прямыми вычисляется по формуле: \[ \cos \alpha = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} \] 5. Вычислим скалярное произведение векторов: \[ \vec{a} \cdot \vec{b} = (-2) \cdot (-2) + 5 \cdot 0 + (-6) \cdot 6 = 4 + 0 - 36 = -32 \] 6. Вычислим длины векторов: \[ |\vec{a}| = \sqrt{(-2)^2 + 5^2 + (-6)^2} = \sqrt{4 + 25 + 36} = \sqrt{65} \] \[ |\vec{b}| = \sqrt{(-2)^2 + 0^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 0 + 36} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10} \] 7. Найдем косинус угла: \[ \cos \alpha = \frac{|-32|}{\sqrt{65} \cdot 2\sqrt{10}} = \frac{32}{2\sqrt{650}} = \frac{16}{\sqrt{25 \cdot 26}} = \frac{16}{5\sqrt{26}} \] Для избавления от иррациональности в знаменателе: \[ \cos \alpha = \frac{16\sqrt{26}}{5 \cdot 26} = \frac{16\sqrt{26}}{130} = \frac{8\sqrt{26}}{65} \] Ответ: \( \cos \alpha = \frac{8\sqrt{26}}{65} \).