Решение задачи: Найти косинус угла между A1C и DC1

Задание 2. Дано: \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) — прямоугольный параллелепипед. \(AB = 2\), \(BC = 5\), \(BB_1 = 6\). Найти: \(\cos \angle (A_1C, DC_1)\). Решение: 1. Введем прямоугольную систему координат с началом в точке \(B(0; 0; 0)\). Ось \(Ox\) направим вдоль \(BA\), ось \(Oy\) — вдоль \(BC\), ось \(Oz\) — вдоль \(BB_1\). 2. Определим координаты нужных вершин: \(A(2; 0; 0)\), \(B(0; 0; 0)\), \(C(0; 5; 0)\), \(D(2; 5; 0)\). \(A_1(2; 0; 6)\), \(B_1(0; 0; 6)\), \(C_1(0; 5; 6)\), \(D_1(2; 5; 6)\). 3. Найдем координаты векторов \(\vec{A_1C}\) и \(\vec{DC_1}\): \[ \vec{A_1C} = (0 - 2; 5 - 0; 0 - 6) = (-2; 5; -6) \] \[ \vec{DC_1} = (0 - 2; 5 - 5; 6 - 0) = (-2; 0; 6) \] 4. Косинус угла \(\alpha\) между прямыми равен модулю косинуса угла между векторами: \[ \cos \alpha = \frac{|\vec{A_1C} \cdot \vec{DC_1}|}{|\vec{A_1C}| \cdot |\vec{DC_1}|} \] 5. Вычислим скалярное произведение и длины векторов: \[ \vec{A_1C} \cdot \vec{DC_1} = (-2) \cdot (-2) + 5 \cdot 0 + (-6) \cdot 6 = 4 + 0 - 36 = -32 \] \[ |\vec{A_1C}| = \sqrt{(-2)^2 + 5^2 + (-6)^2} = \sqrt{4 + 25 + 36} = \sqrt{65} \] \[ |\vec{DC_1}| = \sqrt{(-2)^2 + 0^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 0 + 36} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10} \] 6. Подставим значения: \[ \cos \alpha = \frac{|-32|}{\sqrt{65} \cdot 2\sqrt{10}} = \frac{32}{2\sqrt{650}} = \frac{16}{\sqrt{25 \cdot 26}} = \frac{16}{5\sqrt{26}} \] \[ \cos \alpha = \frac{16\sqrt{26}}{130} = \frac{8\sqrt{26}}{65} \] Ответ: \(\frac{8\sqrt{26}}{65}\). Задание 3. Дано: \(AB = 6\), \(AD = 4\), \(BB_1 = 5\). \(R \in BB_1\), \(B_1R : RB = 2 : 3\). а) Составить уравнение плоскости \(\alpha\) через \(R, A, C_1\). б) Найти угол между \(A_1C_1\) и \(\alpha\). Решение: а) Введем систему координат с началом в \(B(0; 0; 0)\). \(A(6; 0; 0)\), \(C(0; 4; 0)\), \(B_1(0; 0; 5)\), \(C_1(0; 4; 5)\). Точка \(R\) делит \(BB_1\) в отношении \(2:3\) от \(B_1\). Значит, \(RB = \frac{3}{5} BB_1 = 3\). Координаты точек: \(A(6; 0; 0)\), \(R(0; 0; 3)\), \(C_1(0; 4; 5)\). Уравнение плоскости \(ax + by + cz + d = 0\). Подставим точки: 1) \(A: 6a + d = 0 \Rightarrow a = -d/6\) 2) \(R: 3c + d = 0 \Rightarrow c = -d/3\) 3) \(C_1: 4b + 5c + d = 0 \Rightarrow 4b + 5(-d/3) + d = 0 \Rightarrow 4b = 5d/3 - d = 2d/3 \Rightarrow b = d/6\) Пусть \(d = -6\), тогда \(a = 1\), \(b = -1\), \(c = 2\). Уравнение плоскости \(\alpha\): \(x - y + 2z - 6 = 0\). Вектор нормали \(\vec{n} = (1; -1; 2)\). б) Найдем угол между прямой \(A_1C_1\) и плоскостью \(\alpha\). \(A_1(6; 0; 5)\), \(C_1(0; 4; 5)\). Направляющий вектор прямой \(\vec{p} = \vec{A_1C_1} = (0 - 6; 4 - 0; 5 - 5) = (-6; 4; 0)\). Синус угла \(\phi\) между прямой и плоскостью: \[ \sin \phi = \frac{|\vec{n} \cdot \vec{p}|}{|\vec{n}| \cdot |\vec{p}|} \] \[ \vec{n} \cdot \vec{p} = 1 \cdot (-6) + (-1) \cdot 4 + 2 \cdot 0 = -10 \] \[ |\vec{n}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{6} \] \[ |\vec{p}| = \sqrt{(-6)^2 + 4^2 + 0^2} = \sqrt{36 + 16} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13} \] \[ \sin \phi = \frac{|-10|}{\sqrt{6} \cdot 2\sqrt{13}} = \frac{5}{\sqrt{78}} \] \[ \phi = \arcsin \left( \frac{5\sqrt{78}}{78} \right) \] Ответ: а) \(x - y + 2z - 6 = 0\); б) \(\arcsin \frac{5}{\sqrt{78}}\).