Найти объем тела вращения: Решение задачи 5

Задание 5. Найдите объём тела, полученного вращением вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, ограниченной линиями: \( y = 4\sqrt{x} \), \( x = 3 \), \( y = 0 \). Решение: Для нахождения объёма тела вращения вокруг оси \( Ox \) используется формула: \[ V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 dx \] 1. Определим пределы интегрирования. Криволинейная трапеция ограничена линиями \( y = 0 \) (ось \( Ox \)) и \( x = 3 \). Найдём точку пересечения графика \( y = 4\sqrt{x} \) с осью \( Ox \): \[ 4\sqrt{x} = 0 \implies x = 0 \] Таким образом, пределы интегрирования: \( a = 0 \), \( b = 3 \). 2. Подставим функцию \( f(x) = 4\sqrt{x} \) в формулу объёма: \[ V = \pi \int_{0}^{3} (4\sqrt{x})^2 dx \] \[ V = \pi \int_{0}^{3} 16x \, dx \] 3. Вычислим определенный интеграл: \[ V = 16\pi \int_{0}^{3} x \, dx = 16\pi \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{3} \] \[ V = 16\pi \left( \frac{3^2}{2} - \frac{0^2}{2} \right) \] \[ V = 16\pi \cdot \frac{9}{2} \] \[ V = 8\pi \cdot 9 \] \[ V = 72\pi \] Ответ: \( 72\pi \).