Решение задачи: Найти уравнение плоскости

Задание 1. Дано: Точка \( N(-7; 3; 1) \). Вектор нормали \( \vec{n} = \vec{MK} \), где \( M(-3; -1; 2) \) и \( K(-5; 1; 3) \). Решение: 1) Найдем координаты вектора нормали \( \vec{n} \). Для этого из координат конца вектора (точки \( K \)) вычтем координаты его начала (точки \( M \)): \[ \vec{n} = \vec{MK} = (x_K - x_M; y_K - y_M; z_K - z_M) \] \[ \vec{n} = (-5 - (-3); 1 - (-1); 3 - 2) \] \[ \vec{n} = (-2; 2; 1) \] Таким образом, коэффициенты уравнения плоскости \( A = -2 \), \( B = 2 \), \( C = 1 \). 2) Уравнение плоскости, проходящей через точку \( N(x_0; y_0; z_0) \) перпендикулярно вектору \( \vec{n}(A; B; C) \), имеет вид: \[ A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0 \] 3) Подставим координаты точки \( N(-7; 3; 1) \) и координаты вектора \( \vec{n}(-2; 2; 1) \) в это уравнение: \[ -2(x - (-7)) + 2(y - 3) + 1(z - 1) = 0 \] \[ -2(x + 7) + 2(y - 3) + 1(z - 1) = 0 \] 4) Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые: \[ -2x - 14 + 2y - 6 + z - 1 = 0 \] \[ -2x + 2y + z - 21 = 0 \] Для удобства можно умножить все уравнение на \( -1 \): \[ 2x - 2y - z + 21 = 0 \] Ответ: \( 2x - 2y - z + 21 = 0 \).