Решение задачи: Найти правильный ответ (Задание 3)

Задание 3. Решение: а) Введем прямоугольную систему координат с началом в точке \(B(0; 0; 0)\). Пусть ось \(Ox\) направлена вдоль ребра \(BA\), ось \(Oy\) — вдоль ребра \(BC\), ось \(Oz\) — вдоль ребра \(BB_1\). Найдем координаты вершин параллелепипеда, исходя из данных \(AB = 6\), \(AD = 4\), \(BB_1 = 5\): Точка \(A(6; 0; 0)\). Точка \(C(0; 4; 0)\). Точка \(B_1(0; 0; 5)\). Точка \(C_1(0; 4; 5)\). Точка \(R\) лежит на ребре \(BB_1\). По условию \(B_1R : RB = 2 : 3\). Длина \(BB_1 = 5\). Следовательно, \(RB = \frac{3}{2+3} \cdot 5 = 3\). Координаты точки \(R(0; 0; 3)\). Составим уравнение плоскости \(\alpha\), проходящей через точки \(R(0; 0; 3)\), \(A(6; 0; 0)\) и \(C_1(0; 4; 5)\). Общее уравнение плоскости: \(ax + by + cz + d = 0\). Подставим координаты точек: 1) Для \(R(0; 0; 3)\): \(3c + d = 0 \Rightarrow d = -3c\). 2) Для \(A(6; 0; 0)\): \(6a + d = 0 \Rightarrow 6a - 3c = 0 \Rightarrow 2a = c \Rightarrow a = \frac{1}{2}c\). 3) Для \(C_1(0; 4; 5)\): \(4b + 5c + d = 0 \Rightarrow 4b + 5c - 3c = 0 \Rightarrow 4b + 2c = 0 \Rightarrow b = -\frac{1}{2}c\). Пусть \(c = 2\), тогда \(a = 1\), \(b = -1\), \(d = -6\). Уравнение плоскости \(\alpha\): \[x - y + 2z - 6 = 0\] б) Найдем угол между диагональю грани \(A_1C_1\) и плоскостью \(\alpha\). Координаты точки \(A_1(6; 0; 5)\). Направляющий вектор прямой \(A_1C_1\): \[\vec{p} = \vec{A_1C_1} = (0 - 6; 4 - 0; 5 - 5) = (-6; 4; 0)\] Вектор нормали к плоскости \(\alpha\): \[\vec{n} = (1; -1; 2)\] Синус угла \(\phi\) между прямой и плоскостью вычисляется по формуле: \[\sin \phi = \frac{|\vec{n} \cdot \vec{p}|}{|\vec{n}| \cdot |\vec{p}|}\] Вычислим скалярное произведение: \[\vec{n} \cdot \vec{p} = 1 \cdot (-6) + (-1) \cdot 4 + 2 \cdot 0 = -6 - 4 = -10\] Вычислим длины векторов: \[|\vec{n}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6}\] \[|\vec{p}| = \sqrt{(-6)^2 + 4^2 + 0^2} = \sqrt{36 + 16} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}\] Подставим значения: \[\sin \phi = \frac{|-10|}{\sqrt{6} \cdot 2\sqrt{13}} = \frac{10}{2\sqrt{78}} = \frac{5}{\sqrt{78}}\] Угол \(\phi = \arcsin \left( \frac{5}{\sqrt{78}} \right)\). Ответ: а) \(x - y + 2z - 6 = 0\); б) \(\arcsin \left( \frac{5}{\sqrt{78}} \right)\).