Решение задачи: Найти ∠AOB в треугольнике

Задача №6. Дано: Треугольник \( ABC \) \( \angle C = 38^\circ \) \( AD \) и \( BE \) — биссектрисы \( O \) — точка пересечения биссектрис Найти: \( \angle AOB \) Решение: 1. Сумма углов треугольника \( ABC \) равна \( 180^\circ \). Следовательно: \[ \angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ \] \[ \angle A + \angle B = 180^\circ - \angle C \] \[ \angle A + \angle B = 180^\circ - 38^\circ = 142^\circ \] 2. Так как \( AD \) и \( BE \) — биссектрисы, то в треугольнике \( AOB \) углы при основании равны половине углов \( A \) и \( B \) исходного треугольника: \[ \angle OAB = \frac{1}{2} \angle A \] \[ \angle OBA = \frac{1}{2} \angle B \] 3. Сумма этих двух углов равна: \[ \angle OAB + \angle OBA = \frac{1}{2} (\angle A + \angle B) \] \[ \angle OAB + \angle OBA = \frac{1}{2} \cdot 142^\circ = 71^\circ \] 4. Из треугольника \( AOB \) найдем искомый угол (сумма углов треугольника равна \( 180^\circ \)): \[ \angle AOB = 180^\circ - (\angle OAB + \angle OBA) \] \[ \angle AOB = 180^\circ - 71^\circ \] \[ \angle AOB = 109^\circ \] Ответ: 109.