Решение задачи: Найти плотность распределения в точке 2.5

Задание 3. Решите задачу. Условие: Непрерывная случайная величина \( X \) задана функцией распределения: \[ F(x) = \begin{cases} 0, & \text{если } x < 1 \\ \frac{x^2 - 1}{8}, & \text{если } 1 \le x \le 3 \\ 1, & \text{если } x > 3 \end{cases} \] Найдите значение функции плотности распределения вероятности этой случайной величины в точке \( 2,5 \). Решение для тетради: 1. По определению, плотность распределения \( f(x) \) является производной от функции распределения \( F(x) \): \[ f(x) = F'(x) \] 2. Найдем производную функции \( F(x) \) на интервале \( [1; 3] \): \[ f(x) = \left( \frac{x^2 - 1}{8} \right)' = \frac{1}{8} \cdot (x^2 - 1)' = \frac{1}{8} \cdot 2x = \frac{x}{4} \] 3. Таким образом, плотность распределения имеет вид: \[ f(x) = \begin{cases} 0, & \text{если } x < 1 \\ \frac{x}{4}, & \text{если } 1 \le x \le 3 \\ 0, & \text{если } x > 3 \end{cases} \] 4. Вычислим значение плотности в точке \( x = 2,5 \). Так как точка \( 2,5 \) принадлежит интервалу \( [1; 3] \), подставляем её в соответствующую формулу: \[ f(2,5) = \frac{2,5}{4} \] \[ f(2,5) = 0,625 \] Ответ: 0,625