Решение задачи: Равномерное распределение

Задание 4. Решите задачу. Условие: Дана непрерывная случайная величина \( X \), равномерно распределённая на отрезке \( [3; 11] \). Найдите вероятность: а) события \( 1,5 \le X \le 8 \); б) события, состоящего в том, что \( X \) отклоняется от своего математического ожидания \( M(X) \) не более чем на 2. Решение для тетради: Для равномерного распределения на отрезке \( [a; b] \) вероятность попадания в интервал \( [\alpha; \beta] \) вычисляется по формуле: \[ P(\alpha \le X \le \beta) = \frac{\beta^* - \alpha^*}{b - a} \] где \( \alpha^* \) и \( \beta^* \) — границы пересечения заданного интервала с отрезком распределения. В нашем случае \( a = 3 \), \( b = 11 \). Длина отрезка \( b - a = 11 - 3 = 8 \). а) Найдем \( P(1,5 \le X \le 8) \). Так как распределение начинается с 3, то значения от 1,5 до 3 имеют нулевую плотность. Интервал пересечения будет \( [3; 8] \). \[ P(1,5 \le X \le 8) = P(3 \le X \le 8) = \frac{8 - 3}{11 - 3} = \frac{5}{8} = 0,625 \] б) Найдем вероятность отклонения от \( M(X) \) не более чем на 2. 1. Математическое ожидание для равномерного распределения: \[ M(X) = \frac{a + b}{2} = \frac{3 + 11}{2} = \frac{14}{2} = 7 \] 2. Условие "отклоняется не более чем на 2" записывается как \( |X - M(X)| \le 2 \): \[ |X - 7| \le 2 \Rightarrow -2 \le X - 7 \le 2 \Rightarrow 5 \le X \le 9 \] 3. Вычисляем вероятность попадания в интервал \( [5; 9] \): \[ P(5 \le X \le 9) = \frac{9 - 5}{11 - 3} = \frac{4}{8} = 0,5 \] Ответы для ввода в поля: а) 0,625 б) 0,5