Решение задачи: Найти константу C в плотности распределения

Задание 5. Решите задачу. Условие: Непрерывная случайная величина задана своей плотностью распределения: \[ f(x) = \begin{cases} Cx, & \text{если } x \in [3; 7] \\ 0, & \text{если } x \notin [3; 7] \end{cases} \] Найдите константу \( C \). Ответ запишите в виде десятичной дроби. Решение для тетради: Для нахождения константы \( C \) воспользуемся свойством плотности распределения (условием нормировки). Сумма всех вероятностей (площадь под графиком плотности) должна быть равна 1: \[ \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) dx = 1 \] 1. Подставим нашу функцию в интеграл. Так как вне отрезка \( [3; 7] \) функция равна 0, интегрируем только по этому отрезку: \[ \int_{3}^{7} Cx dx = 1 \] 2. Вынесем константу \( C \) за знак интеграла и вычислим его: \[ C \cdot \int_{3}^{7} x dx = 1 \] \[ C \cdot \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{3}^{7} = 1 \] 3. Подставим верхний и нижний пределы интегрирования по формуле Ньютона-Лейбница: \[ C \cdot \left( \frac{7^2}{2} - \frac{3^2}{2} \right) = 1 \] \[ C \cdot \left( \frac{49}{2} - \frac{9}{2} \right) = 1 \] \[ C \cdot \frac{40}{2} = 1 \] \[ C \cdot 20 = 1 \] 4. Находим \( C \): \[ C = \frac{1}{20} \] \[ C = 0,05 \] Ответ: 0,05