Решение задачи: Вероятность попадания в отрезок [5; 6]

Задание. Решите задачу. Условие: Непрерывная случайная величина задана функцией распределения: \[ F(x) = \begin{cases} 0, & \text{если } x < 4 \\ \left( \frac{x - 4}{3} \right)^2, & \text{если } 4 \le x \le 7 \\ 1, & \text{если } x > 7 \end{cases} \] Найдите вероятность того, что результат испытаний \( X \) примет значение, принадлежащее отрезку \( [5; 6] \). Решение для тетради: Для нахождения вероятности попадания непрерывной случайной величины в заданный интервал \( [a; b] \) используется формула через функцию распределения: \[ P(a \le X \le b) = F(b) - F(a) \] В данной задаче нам нужно найти вероятность попадания в отрезок \( [5; 6] \), то есть \( a = 5 \) и \( b = 6 \). 1. Вычислим значение функции распределения в точке \( b = 6 \). Так как \( 4 \le 6 \le 7 \), используем вторую строку формулы: \[ F(6) = \left( \frac{6 - 4}{3} \right)^2 = \left( \frac{2}{3} \right)^2 = \frac{4}{9} \] 2. Вычислим значение функции распределения в точке \( a = 5 \). Так как \( 4 \le 5 \le 7 \), также используем вторую строку: \[ F(5) = \left( \frac{5 - 4}{3} \right)^2 = \left( \frac{1}{3} \right)^2 = \frac{1}{9} \] 3. Находим искомую вероятность: \[ P(5 \le X \le 6) = F(6) - F(5) = \frac{4}{9} - \frac{1}{9} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3} \] 4. Переведем полученный результат в десятичную дробь и округлим до сотых, как того требует условие: \[ \frac{1}{3} \approx 0,3333... \approx 0,33 \] Ответ: 0,33