Найти скорость точек плоской фигуры: Решение

Для решения задачи по определению скоростей точек подвижного блока (плоской фигуры) воспользуемся методами кинематики. Дано: Закон движения груза 3: \(x = 3t^2\) м. Радиус блока 1: \(R = 0,2\) м. Момент времени: \(t = 1\) с. Найти: \(v_D, v_B, v_E, v_C\) при \(t = 1\) с. Решение: 1. Найдем скорость груза 3. Скорость груза определяется как производная от координаты по времени: \[v_3 = \dot{x} = \frac{d}{dt}(3t^2) = 6t \text{ (м/с)}\] В момент времени \(t = 1\) с: \[v_3 = 6 \cdot 1 = 6 \text{ м/с}\] 2. Определим скорость точки \(D\). Так как нить нерастяжима, скорость точки \(D\) на ободе подвижного блока 1 равна по модулю скорости груза 3, так как они связаны одной нитью через неподвижный блок 2. \[v_D = v_3 = 6 \text{ м/с}\] Вектор скорости \(v_D\) направлен вертикально вверх. 3. Определим положение мгновенного центра скоростей (МЦС). Точка \(C\) подвижного блока 1 соприкасается с участком нити, который неподвижно закреплен. Следовательно, скорость этой точки в данный момент времени равна нулю: \[v_C = 0\] Таким образом, точка \(C\) является МЦС блока 1. 4. Найдем угловую скорость блока 1. Зная скорость точки \(D\) и расстояние от нее до МЦС (отрезок \(CD = 2R\)), находим угловую скорость \(\omega_1\): \[\omega_1 = \frac{v_D}{2R} = \frac{6}{2 \cdot 0,2} = \frac{6}{0,4} = 15 \text{ рад/с}\] 5. Найдем скорости точек \(B\) и \(E\). Расстояние от МЦС (точки \(C\)) до точек \(B\) и \(E\) находим по теореме Пифагора (как гипотенузы в треугольниках с катетами \(R\) и \(R\)): \[l_{CB} = l_{CE} = \sqrt{R^2 + R^2} = R\sqrt{2}\] \[l_{CB} = 0,2 \cdot \sqrt{2} \approx 0,283 \text{ м}\] Модули скоростей этих точек равны: \[v_B = v_E = \omega_1 \cdot l_{CB} = 15 \cdot 0,2\sqrt{2} = 3\sqrt{2} \text{ м/с}\] Принимая \(\sqrt{2} \approx 1,41\): \[v_B = v_E \approx 4,23 \text{ м/с}\] Ответ: \[v_C = 0\] \[v_D = 6 \text{ м/с}\] \[v_B = 3\sqrt{2} \approx 4,23 \text{ м/с}\] \[v_E = 3\sqrt{2} \approx 4,23 \text{ м/с}\]