Решение задачи: Найти скорость и абсолютное ускорение точки

Для решения задачи воспользуемся методами кинематики сложного движения точки. Движение точки \(M\) по стержню является относительным, а вращение самого стержня вокруг оси \(O\) — переносным. Дано: Закон относительного движения: \(s_r = OM = t^2\) м. Закон переносного движения (вращения): \(\phi_e = t^3\) рад. Время: \(t = 1\) с. Найти: \(a_M\) (абсолютное ускорение). Решение: 1. Относительное движение (вдоль стержня): Находим относительную скорость и относительное ускорение: \[v_r = \dot{s}_r = \frac{d}{dt}(t^2) = 2t\] \[a_r = \dot{v}_r = \frac{d}{dt}(2t) = 2 \text{ м/с}^2\] При \(t = 1\) с: \(v_r = 2\) м/с, \(a_r = 2 \text{ м/с}^2\). 2. Переносное движение (вращение стержня): Находим угловую скорость и угловое ускорение стержня: \[\omega_e = \dot{\phi}_e = \frac{d}{dt}(t^3) = 3t^2\] \[\epsilon_e = \dot{\omega}_e = \frac{d}{dt}(3t^2) = 6t\] При \(t = 1\) с: \(\omega_e = 3\) рад/с, \(\epsilon_e = 6 \text{ рад/с}^2\). Расстояние до оси вращения в этот момент: \(OM = 1^2 = 1\) м. Находим компоненты переносного ускорения: Вращательное (касательное): \(a_e^\tau = \epsilon_e \cdot OM = 6 \cdot 1 = 6 \text{ м/с}^2\). Центростремительное (нормальное): \(a_e^n = \omega_e^2 \cdot OM = 3^2 \cdot 1 = 9 \text{ м/с}^2\). 3. Кориолисово ускорение: Так как угол между вектором относительной скорости \(v_r\) (вдоль стержня) и вектором угловой скорости \(\omega_e\) (перпендикулярен плоскости чертежа) равен \(90^\circ\): \[a_k = 2 \cdot \omega_e \cdot v_r \cdot \sin(90^\circ) = 2 \cdot 3 \cdot 2 = 12 \text{ м/с}^2\] 4. Абсолютное ускорение: Вектор абсолютного ускорения равен сумме векторов: \[\vec{a}_M = \vec{a}_r + \vec{a}_e^n + \vec{a}_e^\tau + \vec{a}_k\] Заметим, что \(\vec{a}_r\) и \(\vec{a}_e^n\) направлены вдоль стержня (в разные стороны), а \(\vec{a}_e^\tau\) и \(\vec{a}_k\) — перпендикулярно стержню (в одну сторону). Сумма вдоль стержня: \(a_{axis} = a_r - a_e^n = 2 - 9 = -7 \text{ м/с}^2\). Сумма перпендикулярно стержню: \(a_{perp} = a_e^\tau + a_k = 6 + 12 = 18 \text{ м/с}^2\). Модуль абсолютного ускорения: \[a_M = \sqrt{a_{axis}^2 + a_{perp}^2} = \sqrt{(-7)^2 + 18^2} = \sqrt{49 + 324} = \sqrt{373} \approx 19,31 \text{ м/с}^2\] Ответ: \(a_M = \sqrt{373} \approx 19,31 \text{ м/с}^2\).