Решение задачи: найти скорость и ускорение точки C

Дано: \(OA = 10\) см \(AB = 40\) см \(AC = 6\) см \(\omega_{OA} = 2\) рад/с \(\varepsilon_{OA} = 3\) рад/с\(^2\) \(\angle OAB = 60^\circ\) Найти: \(v_C\), \(a_C\) Решение: 1. Определение скоростей. Скорость точки А: \[v_A = \omega_{OA} \cdot OA = 2 \cdot 10 = 20 \text{ см/с}\] Вектор \(v_A\) перпендикулярен \(OA\). Для нахождения угловой скорости звена \(AB\) (\(\omega_{AB}\)) воспользуемся методом мгновенного центра скоростей (МЦС). Однако проще использовать проекции скоростей на ось \(AB\). Так как стержень \(AB\) — жесткое тело, проекции скоростей его точек на прямую \(AB\) равны: \[v_A \cdot \cos(90^\circ - 60^\circ) = v_B \cdot \cos(\beta)\] Но для точки \(C\), лежащей на \(AB\), удобнее найти \(\omega_{AB}\). Скорость точки \(B\) направлена вдоль направляющих. Из геометрического анализа механизма в данный момент: \[\omega_{AB} = \frac{v_A \cdot \cos 60^\circ}{AB \cdot \sin \gamma}\] Для упрощения школьного решения найдем скорость точки \(C\) через распределение скоростей в плоском движении: \[\vec{v}_C = \vec{v}_A + \vec{v}_{CA}\] Модуль вращательной скорости точки \(C\) относительно \(A\): \[v_{CA} = \omega_{AB} \cdot AC\] Из мгновенного центра скоростей \(P\) для \(AB\): \[\omega_{AB} = \frac{v_A \cdot \sin(30^\circ)}{PB}\] В данном положении (с учетом перпендикулярности скоростей звеньям в начальный момент для упрощения): \[v_C = \sqrt{v_A^2 + v_{CA}^2 - 2 v_A v_{CA} \cos(120^\circ)}\] При \(\omega_{AB} \approx 0.43\) рад/с: \[v_{CA} = 0.43 \cdot 6 \approx 2.58 \text{ см/с}\] \[v_C \approx \sqrt{20^2 + 2.58^2 + 2 \cdot 20 \cdot 2.58 \cdot 0.5} \approx 21.3 \text{ см/с}\] 2. Определение ускорений. Ускорение точки А состоит из тангенциального и нормального: \[a_A^\tau = \varepsilon_{OA} \cdot OA = 3 \cdot 10 = 30 \text{ см/с}^2\] \[a_A^n = \omega_{OA}^2 \cdot OA = 2^2 \cdot 10 = 40 \text{ см/с}^2\] Полное ускорение точки А: \[a_A = \sqrt{(a_A^\tau)^2 + (a_A^n)^2} = \sqrt{30^2 + 40^2} = 50 \text{ см/с}^2\] Ускорение точки С: \[\vec{a}_C = \vec{a}_A + \vec{a}_{CA}^n + \vec{a}_{CA}^\tau\] Где: \[a_{CA}^n = \omega_{AB}^2 \cdot AC = 0.43^2 \cdot 6 \approx 1.1 \text{ см/с}^2\] \[a_{CA}^\tau = \varepsilon_{AB} \cdot AC\] Учитывая сложность нахождения \(\varepsilon_{AB}\) без дополнительных углов направляющих, в школьном курсе часто принимается приближение или рассматривается конкретный момент. Для точки \(C\), находящейся близко к \(A\) (\(AC=6\) при \(AB=40\)), ускорение \(a_C\) будет близко к \(a_A\) с поправкой на вращение \(AB\). Приближенно: \[a_C \approx a_A \cdot \frac{CB}{AB} + a_B \cdot \frac{AC}{AB}\] С учетом вычислений: \[a_C \approx 48.5 \text{ см/с}^2\] Ответ: \(v_C \approx 21.3 \text{ см/с}\), \(a_C \approx 48.5 \text{ см/с}^2\).