Решение краевой задачи: Найти собственные значения и собственные функции

Задача: Найти собственные значения и собственные функции краевой задачи: \[ \begin{cases} y'' + \lambda y = 0, \quad 0 < x < l \\ y'(0) = 0, \quad y(l) = 0 \end{cases} \] Решение: Рассмотрим три возможных случая для значения \( \lambda \). 1. Случай \( \lambda < 0 \). Пусть \( \lambda = -k^2 \), где \( k > 0 \). Тогда уравнение принимает вид \( y'' - k^2 y = 0 \). Общее решение: \( y(x) = C_1 \cosh(kx) + C_2 \sinh(kx) \). Найдем производную: \( y'(x) = C_1 k \sinh(kx) + C_2 k \cosh(kx) \). Используем граничные условия: \( y'(0) = C_2 k = 0 \Rightarrow C_2 = 0 \). \( y(l) = C_1 \cosh(kl) = 0 \). Так как \( \cosh(kl) \neq 0 \), то \( C_1 = 0 \). Получаем только тривиальное решение \( y = 0 \), значит отрицательных собственных значений нет. 2. Случай \( \lambda = 0 \). Уравнение принимает вид \( y'' = 0 \). Общее решение: \( y(x) = C_1 x + C_2 \). Производная: \( y'(x) = C_1 \). Граничные условия: \( y'(0) = C_1 = 0 \). \( y(l) = C_2 = 0 \). Снова получаем только тривиальное решение. \( \lambda = 0 \) не является собственным значением. 3. Случай \( \lambda > 0 \). Пусть \( \lambda = k^2 \), где \( k > 0 \). Уравнение: \( y'' + k^2 y = 0 \). Общее решение: \( y(x) = C_1 \cos(kx) + C_2 \sin(kx) \). Производная: \( y'(x) = -C_1 k \sin(kx) + C_2 k \cos(kx) \). Применим граничные условия: \( y'(0) = C_2 k = 0 \Rightarrow C_2 = 0 \). Тогда \( y(x) = C_1 \cos(kx) \). \( y(l) = C_1 \cos(kl) = 0 \). Для существования ненулевого решения (\( C_1 \neq 0 \)) необходимо, чтобы: \[ \cos(kl) = 0 \] Отсюда: \[ kl = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n = 0, 1, 2, \dots \] \[ k_n = \frac{(2n + 1)\pi}{2l} \] Собственные значения: \[ \lambda_n = k_n^2 = \left( \frac{(2n + 1)\pi}{2l} \right)^2, \quad n = 0, 1, 2, \dots \] Собственные функции (с точностью до константы): \[ y_n(x) = \cos\left( \frac{(2n + 1)\pi x}{2l} \right), \quad n = 0, 1, 2, \dots \] Ответ: Собственные значения: \( \lambda_n = \frac{(2n + 1)^2 \pi^2}{4l^2} \). Собственные функции: \( y_n(x) = \cos\frac{(2n + 1)\pi x}{2l} \), где \( n = 0, 1, 2, \dots \)